Fuvest 2022 - 1ª fase

Questão 31 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Bases Numéricas

O sistema de numeração conhecido como chinês científico (ou em barras) surgiu provavelmente há mais de dois milênios. O sistema é essencialmente posicional, de base 10, com o primeiro algarismo à direita representando a unidade. A primeira linha horizontal de símbolos da figura mostra como se representam os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 quando aparecem em posições ímpares (unidades, centenas etc.), e a segunda linha quando tais algarismos aparecem em posições pares (dezenas, milhares etc.). Nesse sistema, passou-se a usar um círculo para representar o algarismo zero a partir da Dinastia Sung (960-1126).

Howard Eves, Introdução à História da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Editora Unicamp, 2011 (5ª ed.).

Assinale a alternativa que representa o número 91625 nesse sistema de numeração.

a)
b)
c)
d)
e)

Resolução

Para um número de cinco algarismos como 91625, temos as posições dos algarismos identificadas a seguir, de modo semelhante ao nosso sistema posicional atual, de base 10 e com valor relativo do algarismo aumentando da direita para a esquerda:

dezena de milhar

(5º algarismo)

unidade de milhar

(4º algarismo)

centena

(3º algarismo

dezena

(2º algarismo)

unidade

(1º algarismo)

De acordo com o texto, nas posições ímpares (1º, 3º e 5º algarismos), devemos utilizar os símbolos da primeira linha da figura. Assim, ficamos com:

9	1	6	2	5

Já para as posições pares (2º e 4º algarismos), devemos utilizar os símbos da segunda linha da figura. Nesse caso, ficamos com:

9	1	6	2	5

Portanto, a representação do número 91625 nesse sistema será:

9	1	6	2	5

Questão 32 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Razão e Proporção

Um vídeo tem três minutos de duração. Se o vídeo for reproduzido, desde o seu início, com velocidade de 1,5 vezes a velocidade original, o tempo de reprodução do vídeo inteiro será de

a)	1min30s.
b)	1min30s.
c)	2min00s.
d)	2min30s.
e)	2min50s.

Resolução

Seja $∆ S$ o comprimento total do vídeo. Deste modo, a velocidade de reprodução dele é:

$v = \frac{∆ S}{∆ t_{1}} \Leftrightarrow v = \frac{∆ S}{3} \Leftrightarrow \frac{∆ S}{v} = 3$

Ao aumentar a velocidade de reprodução, a nova velocidade passa a ser de $1, 5 \cdot v$ , assim, temos:

$1, 5 v = \frac{∆ S}{∆ t_{2}} \Leftrightarrow ∆ t_{2} = \frac{∆ S}{1, 5 v} \Leftrightarrow ∆ t_{2} = \frac{1}{1, 5} \cdot \frac{∆ S}{v} \Leftrightarrow$

$∆ t_{2} = \frac{3}{1, 5} \Leftrightarrow ∆ t_{2} = 2 min$

Questão 33 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Porcentagem

Uma indústria produz três modelos de cadeiras (indicadas por $M_{1}$ , $M_{2}$ e $M_{3}$ ), cada um deles em duas opções de cores: preta e vermelha (indicadas por P e V, respectivamente). A tabela mostra o número de cadeiras produzidas semanalmente conforme a cor e o modelo:

	P	V
$M_{1}$	500	200
$M_{2}$	400	220
$M_{3}$	250	300

As porcentagens de cadeiras com defeito são de 2% do modelo $M_{1}$ , 5% do modelo $M_{2}$ e 8% do modelo $M_{3}$ . As cadeiras que não apresentam defeito são denominadas boas.

A tabela que indica o número de cadeiras produzidas semanalmente com defeito (D) e boas (B), de acordo com a cor, é:

	P	V
D	55	39
B	1095	681

	P	V
D	51	40
B	1099	680

	P	V
D	50	39
B	1100	681

	P	V
D	50	37
B	1100	683

	P	V
D	51	39
B	1099	681

Resolução Sugerimos anulação

Gostaríamos de apontar uma falha no enunciado dessa questão, no trecho em que são descritas as porcertagens de cadeiras defeituosas.

Quando o enunciado nos informa, por exemplo, que 2% das cadeiras do modelo $M_{1}$ apresentam defeito, em momento algum fica claro que tal porcentagem se aplicará para cada cor desse modelo separadamente. Ou seja, só podemos concluir que $\frac{2}{100} \cdot (500 + 200) = 14$ cadeiras desse modelo são defeituosas, mas não necessariamente que sejam $\frac{2}{100} \cdot 500 = 10$ da cor preta e $\frac{2}{100} \cdot 200 = 4$ da cor vermelha.

Não há como descartar, por exemplo, a situação em que, das 14 cadeiras defeituosas do modelo $M_{1}$ , 7 sejam da cor preta e 7 sejam da cor vermelha; ou que todas as defeituosas sejam de cor preta; ou todas de cor vermelha; etc.

Diante dessa ressalva, o máximo que poderíamos descrever para a situação proposta seria o seguinte. Calculando o número de cadeiras defeituosas para cada modelo, temos:

modelo $M_{1}$ : $\frac{2}{100} \cdot (500 + 200) = 14$ ;
modelo $M_{2}$ : $\frac{5}{100} \cdot (400 + 220) = 31$ ;
modelo $M_{3}$ : $\frac{8}{100} \cdot (250 + 300) = 44$ .

Sendo $p_{1}$ , $p_{2}$ e $p_{3}$ a quantidade de cadeiras pretas defeituosas dos modelos $M_{1}$ , $M_{2}$ e $M_{3}$ , respectivamente, segue que a quantidade de cadeiras vermelhas defeituosas será dada, para cada modelo, por:

modelo $M_{1}$ : $v_{1} = 14 - p_{1}$ ;
modelo $M_{2}$ : $v_{2} = 31 - p_{2}$ ;
modelo $M_{3}$ : $v_{3} = 44 - p_{3}$ .

A tabela pedida pelo exercício ficaria assim:

Em que as restrições para $p_{1}$ , $p_{2}$ e $p_{3}$ são:

$p_{1} \in \{0, 1, 2, \dots, 14\}$ ;
$p_{2} \in \{0, 1, 2, \dots, 31\}$ ;
$p_{3} \in \{0, 1, 2, \dots, 44\}$ .

Apresentamos a seguir 2 resoluções para o que imaginamos que seria a situação pretendida pelo enunciado, de assumir que a porcentagem de cadeiras defeituosas descrita para cada modelo deve ser aplicada para cada cor separadamente.

Resolução 1:

Cadeiras modelo M₁ com defeito

Pretas: $\frac{2}{100} \cdot 500 = 10$ ;
Vermelhas: $\frac{2}{100} \cdot 200 = 4$ .

Cadeiras modelo M₂ com defeito

Pretas: $\frac{5}{100} \cdot 400 = 20$ ;
Vermelhas: $\frac{5}{100} \cdot 220 = 11$ .

Cadeiras modelo M₃ com defeito

Pretas: $\frac{8}{100} \cdot 250 = 20$ ;
Vermelhas: $\frac{8}{100} \cdot 300 = 24$ .

Agora, analisemos por cor a quantidade de cadeiras com defeito (D) e boas (B).

Cadeiras pretas

Total: $500 + 400 + 250 = 1150$
Com defeito: $10 + 20 + 20 = 50$
Boas: $1150 - 50 = 1100$

Cadeiras vermelhas

Total: $200 + 220 + 300 = 720$
Com defeito: $4 + 11 + 24 = 39$
Boas: $720 - 39 = 681$

Assim, obtemos a tabela a seguir como resultado, a qual encontraríamos na alternativa C.

	P	V
D	50	39
B	1100	681

Resolução 2: Podemos escrever uma matriz $P$ que na primeira linha possui seus elementos sendo as porcentagens de cadeiras defeituosas e na segunda linha a porcentagem de cadeiras boas.

$P = [\begin{matrix} \frac{2}{100} & \frac{5}{100} & \frac{8}{100} \\ \frac{98}{100} & \frac{95}{100} & \frac{92}{100} \end{matrix}]$

Seja também $A$ a matriz dos números de cadeiras produzidas semanalmente em função da cor e do modelo:

$A = [\begin{matrix} 500 & 200 \\ 400 & 220 \\ 250 & 300 \end{matrix}]$

Então, a tabela que indica o número de cadeiras produzidas semanalmente com defeito (D) e boas (B), de acordo com a cor, é dada por:

$X = P \cdot A = [\begin{matrix} \frac{2}{100} & \frac{5}{100} & \frac{8}{100} \\ \frac{98}{100} & \frac{95}{100} & \frac{92}{100} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 500 & 200 \\ 400 & 220 \\ 250 & 300 \end{matrix}] =$

$[\begin{matrix} 10 + 20 + 20 & 4 + 11 + 24 \\ 490 + 380 + 230 & 196 + 209 + 276 \end{matrix}] \Leftrightarrow X = [\begin{matrix} 50 & 39 \\ 1100 & 681 \end{matrix}]$

Questão 34 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equações e Inequações (Função Quadrática)

Os funcionários de um salão de beleza compraram um presente no valor de R$ 200,00 para a recepcionista do estabelecimento. No momento da divisão igualitária do valor, dois deles desistiram de participar e, por causa disso, cada pessoa que ficou no grupo precisou pagar R$ 5,00 a mais que a quantia originalmente prevista. O valor pago por pessoa que permaneceu na divisão do custo do presente foi:

a)	R$ 10,00
b)	R$ 15,00
c)	R$ 20,00
d)	R$ 25,00
e)	R$ 40,00

Resolução

Sejam $x$ e $y$ o valor a ser pago por cada funcionário e o número de funcionários que de fato permaneceram na divisão do custo, respectivamente. Assim, segue que:

$x \cdot y = 200 \Rightarrow y = \frac{200}{x} (I)$

No início da divisão havia, portanto, $(y + 2)$ funcionários que iriam contribuir com $(x - 5)$ reais. Deste modo, segue que:

$(x - 5) \cdot (y + 2) = 200 (II)$

Substituindo a equação I na equação II, temos:

$(x - 5) \cdot (\frac{200}{x} + 2) = 200 \Leftrightarrow 200 + 2 x - \frac{1000}{x} - 10 = 200 \Leftrightarrow 2 x - 10 - \frac{1000}{x} = 0$

Multiplicando ambos os membros da equação por $x$ , vem que:

$2 x^{2} - 10 x - 1000 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x - 500 = 0 \Leftrightarrow$

$x = 25 ou x = - 20 (não convém)$

Portanto, o valor pago por cada um dos funcionários ao final da divisão foi de $R $ 25, 00$ .

Questão 35 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Soma dos Termos P.A. Termo Geral P.A.

Uma empresa construiu um poço para armazenar água de reúso. O custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo total da construção foi de R$ 48.600,00, a profundidade do poço é:

a)	15 m
b)	18 m
c)	21 m
d)	24 m
e)	27 m

Resolução

Segundo o enunciado, o custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior, ou seja, o custo de cada metro do poço pode ser descrito através de uma progressão aritmética, cujo primeiro termo é 1000 e a razão é 200.

Assim, temos $PA (1000, 1200, 1400, 1600, . . ., a_{n})$ , onde $a_{n}$ representa o último termo, ou seja, o preço do último metro construído desse poço.

Do termo geral da PA, temos que:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r = 1000 + (n - 1) \cdot 200 = 1000 + 200 n - 200 = 800 + 200 n$

O custo total dessa construção foi R$ 48.600,00, que corresponderá à soma dos termos dessa progressão aritmética. Logo:

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2} \Leftrightarrow 48600 = \frac{(1000 + 800 + 200 n) \cdot n}{2} \Leftrightarrow 1800 n + 200 n^{2} = 48600 \cdot 2$

Dividindo ambos os membros por 200, vem que:

$9 n + n^{2} = 486 \Leftrightarrow n^{2} + 9 n - 486 = 0 \Leftrightarrow n = 18 ou n = - 27$

Como $n$ representa a quantidade de termos da sequência e, consequentemente, o total de metros construídos do poço, uma resposta negativa não convém.

Portanto a profundidade do poço é 18 metros.

Questão 36 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Poliedros Convexos

Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Se um deltaedro convexo possui 8 vértices, então o número de faces desse deltaedro é:

Note e adote:
Em poliedros convexos, vale a relação de Euler

F - A + V = 2

, em que

F

é o número de faces,

A

é o número de arestas e

V

é o número de vértices do poliedro.

a)	4
b)	6
c)	8
d)	10
e)	12

Resolução

Seja $F$ o número de faces do deltaedro em questão. Como todas as suas faces são triângulos equiláteros, cada uma delas gera 3 arestas para o poliedro. Entretanto, cada aresta é compartilhada sempre por 2 faces, o que nos impõe o cuidado de não contarmos uma mesma aresta 2 vezes. O total de arestas ( $A$ ), portanto, será dado por:

$A = \frac{F \cdot 3}{2}$

Da relação de Euler, vem que:

$F - A + V = 2 \Leftrightarrow F - \frac{3 \cdot F}{2} + 8 = 2 \Leftrightarrow 6 = \frac{F}{2} \Leftrightarrow F = 12$

Questão 37 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Cosseno no Triângulo Retângulo

A figura mostra um quadrado e um círculo, ambos com centro no ponto $O$ . O quadrado tem lado medindo 1 unidade de medida (u.m.) e o círculo tem raio igual a 2 u.m. O ponto $A$ está sobre o contorno do quadrado, o ponto $B$ está sobre o contorno do círculo, e o segmento $A B$ tem tamanho 2 u.m.

Quando o ângulo $θ = A \hat{O} B$ for máximo, seu cosseno será:

a)	$\frac{1}{8}$
b)	$\frac{1}{4}$
c)	$\frac{1}{2}$
d)	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
e)	$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Resolução

Podemos observar que o triângulo $O B A$ é isósceles de base $O A$ e lados congruentes, $O B$ e $A B$ , de medida fixa e igual a 2 u.m.. Deste modo, o ângulo $θ$ da base será máximo quando o ângulo oposto à base for mínimo e, consequentemente, a base do triângulo também seja mínima.

Como o ponto A está sobre o contorno do quadrado, devemos buscar a menor medida $O A$ possível que satisfaça essa condição. Observe a animação a seguir:

Perceba que a minimização do segmento $O A$ é dada quando este segmento é paralelo a um dos lados do quadrado (seja ele vertical ou horizontal). Observe a imagem abaixo:

Caso tomássemos um segmento $O A$ não paralelo a um lado do quadrado, como na figura acima, existiria um ponto $A'$ na borda do quadrado tal que $O A' < O A$ , visto que $O A$ seria hipotenusa do triângulo retângulo de cateto $O A'$ .

Sendo assim, tomando o triângulo $O B A$ com base paralela a um dos lados do quadrado, conforme a imagem abaixo, temos:

A altura $B M$ é também mediana do triângulo, pois o mesmo é isósceles e $O B$ é raio da circunferência . Assim,

$O M = \frac{\frac{1}{2}}{2} \Rightarrow O M = \frac{1}{4}$

$O B = 2$

$\cos (θ) = \frac{O M}{O B} \Leftrightarrow \cos (θ) = \frac{\frac{1}{4}}{2} \Leftrightarrow \cos (θ) = \frac{1}{8}$

Questão 38 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equações Polinomiais

Suponha que o polinômio $p (x) = x^{3} + m x - 2$ , em que $m$ é um número real, tenha uma raiz real dupla $a$ e uma raiz real simples $b$ . O valor da soma de $m$ com $a$ é:

a)	$0$
b)	$- 1$
c)	$- 2$
d)	$- 3$
e)	$- 4$

Resolução

Sendo $a$ uma raiz de multiplicidade 2 (raiz dupla) e $b$ uma raiz de multiplicidade 1 (raiz simples) do polinômio $p (x) = x^{3} + 0 x^{2} + m x - 2$ , então, utilizando as relações de Girard (neste caso, especificamente, as relações de soma das raízes e produto das raízes), temos:

$a + a + b = - \frac{0}{1} \Leftrightarrow 2 a + b = 0 \Leftrightarrow b = - 2 a (I)$

$a \cdot a \cdot b = - \frac{(- 2)}{1} \Leftrightarrow a^{2} \cdot b = 2 (II)$

Substituindo (I) em (II), segue que:

$a^{2} b = 2 \Leftrightarrow a^{2} \cdot (- 2 a) = 2 \Leftrightarrow a^{3} = - 1$

Sendo $a$ real, ficamos com:

$a = \sqrt[3]{- 1} = - 1$

Como $a$ é raiz do polinômio $p (x)$ , então:

$p (a) = 0 \Leftrightarrow a^{3} + m \cdot a - 2 = 0 \Leftrightarrow {(- 1)}^{3} + m \cdot (- 1) - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 3$

Logo, a soma pedida é igual a:

$m + a = - 3 + (- 1) \Leftrightarrow m + a = - 4$

Questão 39 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Comprimento da Circunferência Comprimento do Arco

Quatro tanques cilíndricos são vistos de cima (em planta baixa) conforme a figura. Todos têm 10 m de raio e seus centros se posicionam em vértices dos dois quadrados tracejados adjacentes, ambos com 30 m de lado. Uma fita de isolamento, esticada e paralela ao solo, envolve os 4 tanques, dando uma volta completa (linha em laranja na figura).

O comprimento da fita, em metros, é:

a)	$20 π + 30 (3 + \sqrt{2})$
b)	$20 π + 30 (4 + \sqrt{2})$
c)	$25 π + 15 (4 + \sqrt{2})$
d)	$25 π + 30 (4 + \sqrt{2})$
e)	$25 π + 30 (4 + 2 \sqrt{2})$

Resolução

Observe a figura a seguir e seus pontos destacados.

Para determinar o comprimento da fita, somamos os comprimentos dos arcos menores $\overset{⏜}{A B}$ , $\overset{⏜}{C D}$ , $\overset{⏜}{E F}$ , $\overset{⏜}{G H}$ e $\overset{⏜}{I A}$ com as medidas dos segmentos $B C$ , $D E$ , $F G$ e $H I$ .

Os segmentos $D E$ e $F G$ são congruentes aos lados dos quadrados, portanto $D E = F G = 30$ m.

Já o segmento $H I$ equivale a dois lados dos quadrados, ou seja, $H I = 2 \cdot 30 = 60$ m.

Note que é possível formar o retângulo $O_{1} O_{2} C B$ , então $B C$ é congruente a $\bar{O_{1} O_{2}}$ , o qual equivale à diagonal do quadrado de lado 30 m, ou seja, $B C = O_{1} O_{2} = 30 \sqrt{2}$ m.

Os arcos $\overset{⏜}{E F}$ , $\overset{⏜}{G H}$ e $\overset{⏜}{I A}$ são determinados por ângulos centrais retos, então o comprimento de cada um desses arcos equiavale a $\frac{1}{4}$ do comprimento da circunferência em que está contido. Ou seja:

$\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot 10 = \frac{20 π}{4} = 5 π$ m.

Já o arcos $\overset{⏜}{A B}$ e $\overset{⏜}{C D}$ são determinados por ângulos centrais de 45°, então o comprimento de cada um desses arcos equiavale a $\frac{1}{8}$ do comprimento da circunferência:

$\frac{1}{8} \cdot 2 \cdot π \cdot 10 = \frac{20 π}{8} = \frac{5 π}{2}$ m.

Portanto, o comprimento da fita, em metros, é:

$2 \cdot \frac{5 π}{2} + 3 \cdot 5 π + 2 \cdot 30 + 60 + 30 \sqrt{2} =$

$5 π + 15 π + 120 + 30 \sqrt{2} =$

$20 π + 30 (4 + \sqrt{2}) .$

Questão 40 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Razão e Proporção

Em fevereiro de 2021, um grupo de físicos da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) publicou um artigo que foi capa da importante revista Nature. O texto a seguir foi retirado de uma reportagem do site da UFMG sobre o artigo:

O nanoscópio, prossegue Ado Jorio (professor da UFMG), ilumina a amostra com um microscópio óptico usual. O foco da luz tem o tamanho de um círculo de 1 micrômetro de diâmetro. “O que o nanoscópio faz é inserir uma nanoantena, que tem uma ponta com diâmetro de 10 nanômetros, dentro desse foco de 1 micrômetro e escanear essa ponta. A imagem com resolução nanométrica é formada por esse processo de escaneamento da nanoantena, que localiza o campo eletromagnético da luz em seu ápice”, afirma o professor.

Itamar Rigueira Jr. “Nanoscópio da UFMG possibilita compreender estrutura que torna grafeno supercondutor”. Adaptado. Disponível em https://ufmg.br/comunicacao/noticias/. Gadelha A C et al. (2021), Nature, 590, 405-409, doi: 10.1038/s41586-021-03252-5.

Com base nos dados mencionados no texto, a razão entre o diâmetro do foco da luz de um microscópio óptico usual e o diâmetro da ponta da nanoantena utilizada no nanoscópio é da ordem de:

a)	0,0001
b)	0,01
c)	1
d)	100
e)	10000

Resolução

Lembramos que micrômetro ( $μm$ ) e nanômetro ( $nm$ ) equivalem a:

$μm = 10^{- 6} m$ ;
$nm = 10^{- 9} m$ .

Segundo o texto, o diâmetro do foco da luz de um microscópio óptico usual é $D = 1 μm$ e o diâmetro da ponta da nanoantena utilizada no nanoscópio é $d = 10 nm$ . Assim, a razão pedida é dada por:

$\frac{D}{d} = \frac{1 μm}{10 nm} = \frac{1 \cdot 10^{- 6} m}{10 \cdot 10^{- 9} m} = \frac{10^{- 6}}{10^{- 8}} - 10^{- 6 - (- 8)} = 10^{2} = 100$