Questão 37 Fuvest 2022 - 1ª fase

Podemos observar que o triângulo $OBA$ é isósceles de base $\overline{OA}$ e lados congruentes, $\overline{OB}$ e $\overline{AB}$, de medida fixa e igual a 2 u.m.. Deste modo, o ângulo $\theta$ da base será máximo quando o ângulo oposto à base for mínimo e, consequentemente, a base do triângulo também seja mínima.

Como o ponto A está sobre o contorno do quadrado, devemos buscar a menor medida $\overline{OA}$ possível que satisfaça essa condição. Observe a animação a seguir:

Perceba que a minimização do segmento $\overline{OA}$ é dada quando este segmento é paralelo a um dos lados do quadrado (seja ele vertical ou horizontal). Observe a imagem abaixo:

Caso tomássemos um segmento $\overline{OA}$ não paralelo a um lado do quadrado, como na figura acima, existiria um ponto $A\text{'}$  na borda do quadrado tal que $OA\text{'}<OA$, visto que $\overline{OA}$ seria hipotenusa do triângulo retângulo de cateto $\overline{OA\text{'}}$. 

Sendo assim, tomando o triângulo $OBA$ com base paralela a um dos lados do quadrado, conforme a imagem abaixo, temos:

A altura $\overline{BM}$ é também mediana do triângulo, pois o mesmo é isósceles e $\overline{OB}$ é raio da circunferência . Assim,

 $OM=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2}\Rightarrow OM=\frac{1}{4}$

$OB=2$

$\cos \left(\theta \right)=\frac{OM}{OB}\iff \cos \left(\theta \right)=\frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{2}\iff \boxed{\cos \left(\theta \right)=\frac{1}{8}}$