Questão 38 Fuvest 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 38

Equações Polinomiais

Suponha que o polinômio $p (x) = x^{3} + m x - 2$ , em que $m$ é um número real, tenha uma raiz real dupla $a$ e uma raiz real simples $b$ . O valor da soma de $m$ com $a$ é:

a)	$0$
b)	$- 1$
c)	$- 2$
d)	$- 3$
e)	$- 4$

Resolução

Sendo $a$ uma raiz de multiplicidade 2 (raiz dupla) e $b$ uma raiz de multiplicidade 1 (raiz simples) do polinômio $p (x) = x^{3} + 0 x^{2} + m x - 2$ , então, utilizando as relações de Girard (neste caso, especificamente, as relações de soma das raízes e produto das raízes), temos:

$a + a + b = - \frac{0}{1} \Leftrightarrow 2 a + b = 0 \Leftrightarrow b = - 2 a (I)$

$a \cdot a \cdot b = - \frac{(- 2)}{1} \Leftrightarrow a^{2} \cdot b = 2 (II)$

Substituindo (I) em (II), segue que:

$a^{2} b = 2 \Leftrightarrow a^{2} \cdot (- 2 a) = 2 \Leftrightarrow a^{3} = - 1$

Sendo $a$ real, ficamos com:

$a = \sqrt[3]{- 1} = - 1$

Como $a$ é raiz do polinômio $p (x)$ , então:

$p (a) = 0 \Leftrightarrow a^{3} + m \cdot a - 2 = 0 \Leftrightarrow {(- 1)}^{3} + m \cdot (- 1) - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 3$

Logo, a soma pedida é igual a:

$m + a = - 3 + (- 1) \Leftrightarrow m + a = - 4$