Questão 36 Fuvest 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 36

Poliedros Convexos

Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Se um deltaedro convexo possui 8 vértices, então o número de faces desse deltaedro é:

Note e adote:
Em poliedros convexos, vale a relação de Euler

F - A + V = 2

, em que

F

é o número de faces,

A

é o número de arestas e

V

é o número de vértices do poliedro.

a)	4
b)	6
c)	8
d)	10
e)	12

Resolução

Seja $F$ o número de faces do deltaedro em questão. Como todas as suas faces são triângulos equiláteros, cada uma delas gera 3 arestas para o poliedro. Entretanto, cada aresta é compartilhada sempre por 2 faces, o que nos impõe o cuidado de não contarmos uma mesma aresta 2 vezes. O total de arestas ( $A$ ), portanto, será dado por:

$A = \frac{F \cdot 3}{2}$

Da relação de Euler, vem que:

$F - A + V = 2 \Leftrightarrow F - \frac{3 \cdot F}{2} + 8 = 2 \Leftrightarrow 6 = \frac{F}{2} \Leftrightarrow F = 12$