Questão 35 Fuvest 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 35

Soma dos Termos P.A. Termo Geral P.A.

Uma empresa construiu um poço para armazenar água de reúso. O custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo total da construção foi de R$ 48.600,00, a profundidade do poço é:

a)	15 m
b)	18 m
c)	21 m
d)	24 m
e)	27 m

Resolução

Segundo o enunciado, o custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior, ou seja, o custo de cada metro do poço pode ser descrito através de uma progressão aritmética, cujo primeiro termo é 1000 e a razão é 200.

Assim, temos $PA (1000, 1200, 1400, 1600, . . ., a_{n})$ , onde $a_{n}$ representa o último termo, ou seja, o preço do último metro construído desse poço.

Do termo geral da PA, temos que:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r = 1000 + (n - 1) \cdot 200 = 1000 + 200 n - 200 = 800 + 200 n$

O custo total dessa construção foi R$ 48.600,00, que corresponderá à soma dos termos dessa progressão aritmética. Logo:

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2} \Leftrightarrow 48600 = \frac{(1000 + 800 + 200 n) \cdot n}{2} \Leftrightarrow 1800 n + 200 n^{2} = 48600 \cdot 2$

Dividindo ambos os membros por 200, vem que:

$9 n + n^{2} = 486 \Leftrightarrow n^{2} + 9 n - 486 = 0 \Leftrightarrow n = 18 ou n = - 27$

Como $n$ representa a quantidade de termos da sequência e, consequentemente, o total de metros construídos do poço, uma resposta negativa não convém.

Portanto a profundidade do poço é 18 metros.