Questão 33 Fuvest 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 33

Porcentagem

Uma indústria produz três modelos de cadeiras (indicadas por $M_{1}$ , $M_{2}$ e $M_{3}$ ), cada um deles em duas opções de cores: preta e vermelha (indicadas por P e V, respectivamente). A tabela mostra o número de cadeiras produzidas semanalmente conforme a cor e o modelo:

	P	V
$M_{1}$	500	200
$M_{2}$	400	220
$M_{3}$	250	300

As porcentagens de cadeiras com defeito são de 2% do modelo $M_{1}$ , 5% do modelo $M_{2}$ e 8% do modelo $M_{3}$ . As cadeiras que não apresentam defeito são denominadas boas.

A tabela que indica o número de cadeiras produzidas semanalmente com defeito (D) e boas (B), de acordo com a cor, é:

	P	V
D	55	39
B	1095	681

	P	V
D	51	40
B	1099	680

	P	V
D	50	39
B	1100	681

	P	V
D	50	37
B	1100	683

	P	V
D	51	39
B	1099	681

Resolução Sugerimos anulação

Gostaríamos de apontar uma falha no enunciado dessa questão, no trecho em que são descritas as porcertagens de cadeiras defeituosas.

Quando o enunciado nos informa, por exemplo, que 2% das cadeiras do modelo $M_{1}$ apresentam defeito, em momento algum fica claro que tal porcentagem se aplicará para cada cor desse modelo separadamente. Ou seja, só podemos concluir que $\frac{2}{100} \cdot (500 + 200) = 14$ cadeiras desse modelo são defeituosas, mas não necessariamente que sejam $\frac{2}{100} \cdot 500 = 10$ da cor preta e $\frac{2}{100} \cdot 200 = 4$ da cor vermelha.

Não há como descartar, por exemplo, a situação em que, das 14 cadeiras defeituosas do modelo $M_{1}$ , 7 sejam da cor preta e 7 sejam da cor vermelha; ou que todas as defeituosas sejam de cor preta; ou todas de cor vermelha; etc.

Diante dessa ressalva, o máximo que poderíamos descrever para a situação proposta seria o seguinte. Calculando o número de cadeiras defeituosas para cada modelo, temos:

modelo $M_{1}$ : $\frac{2}{100} \cdot (500 + 200) = 14$ ;
modelo $M_{2}$ : $\frac{5}{100} \cdot (400 + 220) = 31$ ;
modelo $M_{3}$ : $\frac{8}{100} \cdot (250 + 300) = 44$ .

Sendo $p_{1}$ , $p_{2}$ e $p_{3}$ a quantidade de cadeiras pretas defeituosas dos modelos $M_{1}$ , $M_{2}$ e $M_{3}$ , respectivamente, segue que a quantidade de cadeiras vermelhas defeituosas será dada, para cada modelo, por:

modelo $M_{1}$ : $v_{1} = 14 - p_{1}$ ;
modelo $M_{2}$ : $v_{2} = 31 - p_{2}$ ;
modelo $M_{3}$ : $v_{3} = 44 - p_{3}$ .

A tabela pedida pelo exercício ficaria assim:

Em que as restrições para $p_{1}$ , $p_{2}$ e $p_{3}$ são:

$p_{1} \in \{0, 1, 2, \dots, 14\}$ ;
$p_{2} \in \{0, 1, 2, \dots, 31\}$ ;
$p_{3} \in \{0, 1, 2, \dots, 44\}$ .

Apresentamos a seguir 2 resoluções para o que imaginamos que seria a situação pretendida pelo enunciado, de assumir que a porcentagem de cadeiras defeituosas descrita para cada modelo deve ser aplicada para cada cor separadamente.

Resolução 1:

Cadeiras modelo M₁ com defeito

Pretas: $\frac{2}{100} \cdot 500 = 10$ ;
Vermelhas: $\frac{2}{100} \cdot 200 = 4$ .

Cadeiras modelo M₂ com defeito

Pretas: $\frac{5}{100} \cdot 400 = 20$ ;
Vermelhas: $\frac{5}{100} \cdot 220 = 11$ .

Cadeiras modelo M₃ com defeito

Pretas: $\frac{8}{100} \cdot 250 = 20$ ;
Vermelhas: $\frac{8}{100} \cdot 300 = 24$ .

Agora, analisemos por cor a quantidade de cadeiras com defeito (D) e boas (B).

Cadeiras pretas

Total: $500 + 400 + 250 = 1150$
Com defeito: $10 + 20 + 20 = 50$
Boas: $1150 - 50 = 1100$

Cadeiras vermelhas

Total: $200 + 220 + 300 = 720$
Com defeito: $4 + 11 + 24 = 39$
Boas: $720 - 39 = 681$

Assim, obtemos a tabela a seguir como resultado, a qual encontraríamos na alternativa C.

	P	V
D	50	39
B	1100	681

Resolução 2: Podemos escrever uma matriz $P$ que na primeira linha possui seus elementos sendo as porcentagens de cadeiras defeituosas e na segunda linha a porcentagem de cadeiras boas.

$P = [\begin{matrix} \frac{2}{100} & \frac{5}{100} & \frac{8}{100} \\ \frac{98}{100} & \frac{95}{100} & \frac{92}{100} \end{matrix}]$

Seja também $A$ a matriz dos números de cadeiras produzidas semanalmente em função da cor e do modelo:

$A = [\begin{matrix} 500 & 200 \\ 400 & 220 \\ 250 & 300 \end{matrix}]$

Então, a tabela que indica o número de cadeiras produzidas semanalmente com defeito (D) e boas (B), de acordo com a cor, é dada por:

$X = P \cdot A = [\begin{matrix} \frac{2}{100} & \frac{5}{100} & \frac{8}{100} \\ \frac{98}{100} & \frac{95}{100} & \frac{92}{100} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 500 & 200 \\ 400 & 220 \\ 250 & 300 \end{matrix}] =$

$[\begin{matrix} 10 + 20 + 20 & 4 + 11 + 24 \\ 490 + 380 + 230 & 196 + 209 + 276 \end{matrix}] \Leftrightarrow X = [\begin{matrix} 50 & 39 \\ 1100 & 681 \end{matrix}]$