Questão 39 Fuvest 2022 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 39

Comprimento da Circunferência Comprimento do Arco

Quatro tanques cilíndricos são vistos de cima (em planta baixa) conforme a figura. Todos têm 10 m de raio e seus centros se posicionam em vértices dos dois quadrados tracejados adjacentes, ambos com 30 m de lado. Uma fita de isolamento, esticada e paralela ao solo, envolve os 4 tanques, dando uma volta completa (linha em laranja na figura).

O comprimento da fita, em metros, é:

a)	$20 π + 30 (3 + \sqrt{2})$
b)	$20 π + 30 (4 + \sqrt{2})$
c)	$25 π + 15 (4 + \sqrt{2})$
d)	$25 π + 30 (4 + \sqrt{2})$
e)	$25 π + 30 (4 + 2 \sqrt{2})$

Resolução

Observe a figura a seguir e seus pontos destacados.

Para determinar o comprimento da fita, somamos os comprimentos dos arcos menores $\overset{⏜}{A B}$ , $\overset{⏜}{C D}$ , $\overset{⏜}{E F}$ , $\overset{⏜}{G H}$ e $\overset{⏜}{I A}$ com as medidas dos segmentos $B C$ , $D E$ , $F G$ e $H I$ .

Os segmentos $D E$ e $F G$ são congruentes aos lados dos quadrados, portanto $D E = F G = 30$ m.

Já o segmento $H I$ equivale a dois lados dos quadrados, ou seja, $H I = 2 \cdot 30 = 60$ m.

Note que é possível formar o retângulo $O_{1} O_{2} C B$ , então $B C$ é congruente a $\bar{O_{1} O_{2}}$ , o qual equivale à diagonal do quadrado de lado 30 m, ou seja, $B C = O_{1} O_{2} = 30 \sqrt{2}$ m.

Os arcos $\overset{⏜}{E F}$ , $\overset{⏜}{G H}$ e $\overset{⏜}{I A}$ são determinados por ângulos centrais retos, então o comprimento de cada um desses arcos equiavale a $\frac{1}{4}$ do comprimento da circunferência em que está contido. Ou seja:

$\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot 10 = \frac{20 π}{4} = 5 π$ m.

Já o arcos $\overset{⏜}{A B}$ e $\overset{⏜}{C D}$ são determinados por ângulos centrais de 45°, então o comprimento de cada um desses arcos equiavale a $\frac{1}{8}$ do comprimento da circunferência:

$\frac{1}{8} \cdot 2 \cdot π \cdot 10 = \frac{20 π}{8} = \frac{5 π}{2}$ m.

Portanto, o comprimento da fita, em metros, é:

$2 \cdot \frac{5 π}{2} + 3 \cdot 5 π + 2 \cdot 30 + 60 + 30 \sqrt{2} =$

$5 π + 15 π + 120 + 30 \sqrt{2} =$

$20 π + 30 (4 + \sqrt{2}) .$