Unicamp 2023 - 1ª fase

Sendo  $f\left(x\right)=y=\frac{x+1}{x-1}$, para encontrarmos a função inversa devemos trocar x e y de lugar na igualdade e isolarmos y. Deste modo, fazendo a troca, temos:

$x=\frac{y+1}{y-1}\iff xy-x=y+1\iff xy-y=x+1\iff y·\left(x-1\right)=x+1$

Note, portanto, que para que possamos isolar y e encontrarmos a função inversa, devemos ter  $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$ . Assim, 

$\boxed{Dom\left(f^{-1}\right)=\mathrm{ℝ}-\left\{1\right\}}$

Isolando y na igualdade, temos:

$y·\left(x-1\right)=x+1\iff y=\frac{x+1}{x-1}\iff \boxed{f^{-1}\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}}$

Sendo $x_1=6$ e $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$, como foi fornecido pelo enunciado, temos

$$\begin{gathered} x_2=f\left(6\right) \\ {x}_2=\frac{6+1}{6-1} \\ {x}_2=\frac{7}{5} \end{gathered}$$

Calculando o valor de $x_3$, encontramos

$$\begin{gathered} x_3=f\left(\frac{7}{5}\right) \\ {x}_3=\frac{{\displaystyle \frac{7}{5}}+1}{{\displaystyle \frac{7}{5}}-1} \\ {x}_3=\frac{{\displaystyle \frac{12}{5}}}{{\displaystyle \frac{2}{5}}} \\ {x}_3=6 \end{gathered}$$

Como a sequência é obtida de maneira recursiva (cada termo, a partir do segundo, depende do anterior) e $x_3=x_1$, a sequência fica se alternando entre os valores $6$ e $\frac{7}{5}$.

Nesse caso, dos 100 primeiros termos da sequência, 50 são iguais a $6$, enquanto os outros 50 são iguais a $\frac{7}{5}$.

Portanto, a soma dos 100 primeiros termos é

$\sum _{i=1}^{100}{x}_i=50·6+50·\frac{7}{5}=370$

Solução 1

Para que o sistema linear apresentado apresente infinitas soluções, ou seja, que ele seja possível e indeterminado, o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema deve ser nulo. Assim, temos:

$\left|\begin{array}{cc}a& -1\\ \left(4-5a^2\right)& a\end{array}\right|=0\iff a^2-\left(-4+5a^2\right)=0\iff 4-4a^2=0\iff a=\pm 1$

Entretanto, um sistema impossível (sem solução) também apresenta determinante da matriz dos coeficientes nulo. Assim, devemos substituir os valores encontrados acima e escalonar o sistema. Deste modo, temos:

Para  $a=1$, 

$\left\{\begin{array}{l}ax-y=\left|a\right|\\ \left(4-5a^2\right)·x+ay=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ -x+y=1\end{array}\right.$

Multiplicando a segunda linha por -1, temos:

$\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ x-y=-1\end{array}\right.$

Observe, portanto, que há uma contradição nas informações da primeira e da segunda linha. Assim, para $a=1$ o sistema é impossível, não tendo solução.

Para  $a=-1$, 

$\left\{\begin{array}{l}ax-y=\left|a\right|\\ \left(4-5a^2\right)·x+ay=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-x-y=1\\ -x-y=1\end{array}\right.$

Observe que as duas linhas são idênticas, havendo, portanto, uma informação em duplicidade. Deste modo, este sistema pode ser reduzido para

$-x-y=1\iff y=-x-1$

Com uma única equação e duas incógnitas, para cada valor de x, teremos um valor diferente para y, sendo sua solução

$S=\left\{\left(x,-x-1\right); x\in \mathrm{ℝ}\right\}$

Assim, para $\boxed{a=-1}$  o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

Solução 2

Observando o sistema

$\left\{\begin{array}{l}ax-y=\left|a\right|\\ \left(4-5a^2\right)·x+ay=1\end{array}\right.$

Supondo $a\ne 0$, podemos trocar a segunda linha por ela mesma mais a vezes a primeira linha, assim:

$\left\{\begin{array}{l}ax-y=\left|a\right|\\ \left(4-5a^2\right)·x+ay=1\end{array}\right.\stackrel{L_2\to L_2+a·L_1}{\Rightarrow }\left\{\begin{array}{l}ax-y=\left|a\right|\\ \left(4-4a^2\right)·x=a·\left|a\right|+1\end{array}\right.$

Observemos a segunda linha do sistema. Para que este sistema linear apresente infinitas soluções o coeficiente de x deve ser nulo, caso contrário haveria apenas uma solução para a incógnita x e, portanto, apenas uma solução para y, indicando um sistema possível e determinado. Deste modo, temos:

$4-4a^2=0\iff a^2=1\iff a=\pm 1$

Para $a=1$, temos:

$\left(4-4a^2\right)·x=a·\left|a\right|+1\Rightarrow 0x=1·\left|1\right|+1\iff 0x=2$

Note, porém, que o lado esquerdo da equação é igual a 0 e o lado direito da equação é igual a 2. Sendo assim, este seria um sistema impossível.

Para $a=-1$, temos:

$\left(4-4a^2\right)·x=a·\left|a\right|+1\Rightarrow 0x=-1·\left|-1\right|+1\iff 0x=-1+1\iff 0x=0$

Note, então, que independente do valor de x, a equação é satisfeita. Logo, há infinitas soluções. Deste modo, o único valor de a que torna o sistema possível e indeterminado (com infinitas soluções) é $\boxed{a=-1}$.

Cabe ressaltar que nossa suposição inicial era $a$ não nulo, deste modo, verificando o caso $a=0$, temos:

$\left\{\begin{array}{l}ax-y=\left|a\right|\\ \left(4-5a^2\right)·x+ay=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-y=0\\ 4x=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Ou seja, o sistema teria apenas uma solução, sendo possível e determinado.

Observe a figura a seguir:

Em um triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa. Logo, temos que

$AB=2·CM=10$

Para calcular a medida do lado $\overline{CB}$, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo $ABC$:

$$\begin{gathered} C{B}^2+C{A}^2=A{B}^2 \\ C{B}^2+6^2={10}^2 \\ C{B}^2=64 \\ CB=8 \end{gathered}$$

Solução I

Calculamos agora o valor de $\cos \alpha$ ao aplicar o Teorema dos Cossenos no triângulo $BCM$:

$$\begin{gathered} B{C}^2=M{C}^2+M{B}^2-2·MC·MB·\cos \alpha \\ {8}^2=5^2+5^2-2·5·5·\cos \alpha \\ 50·\cos \alpha =50-64 \\ \cos \alpha =-\frac{14}{50}=-\frac{7}{25} \end{gathered}$$

Finalmente, pela Relação Funamental da Trigonometria, obtemos:

$$\begin{gathered} {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\left(-\frac{7}{25}\right)}^2=1 \\ {\mathrm{sen}}^2\alpha =1-\frac{49}{625} \\ {\mathrm{sen}}^2\alpha =\frac{576}{625} \end{gathered}$$

Como $0<\alpha <\pi$, seu seno é um valor positivo. Portanto,

$$\begin{gathered} \mathrm{sen}\alpha =\sqrt{\frac{576}{625}} \\ \mathrm{sen}\alpha =\frac{24}{25} \end{gathered}$$

Solução II

No triângulo ABC, temos:

$\mathrm{sen}\left(\beta \right)=\frac{AC}{AB}\Rightarrow \mathrm{sen}\left(\beta \right)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

No triângulo CMB, temos pelo teorema dos senos:

$\frac{CB}{\mathrm{sen}\left(\alpha \right)}=\frac{CM}{\mathrm{sen}\left(\beta \right)}\iff \frac{8}{\mathrm{sen}\left(\alpha \right)}=\frac{5}{{\displaystyle \frac{3}{5}}}\iff \boxed{\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=\frac{24}{25}}$

Analisemos primeiramente a quantidade de cartelas que João comprou.

Como os números vão de $0001$ até $2000$ e João não comprou a cartela de número $2000$ (pois esta não possui o algarismo $5$), o primeiro algarismo das cartelas que João comprou é o $0$ ou o $1$.

Dentre os três algarismos restantes, deve haver pelo menos um algarismo $2$ e um algarismo $5$. Seja $N$ o outro algarismo. Separamos a contagem em dois casos:

1º caso. $N\ne 2$ e $N\ne 5$.

Nesse caso, há $8$ possibilidades para $N$, além das duas possibilidades de escolha do primeiro algarismo ($0$ ou $1$).

Além disso, os algarismos $2$, $5$ e $N$ podem aparecer em qualquer ordem nas três últimas posições, o que corresponde a uma permutação de três elementos distintos: $P_3=3!$ maneiras.

Sendo assim, o total de cartelas desse caso é:

$2·8·3!=96 \text{cartelas}$

2º caso. $N=2$ ou $N=5$.

Nesse caso, há $2$ possibilidades para o algarismo inicial e outras duas possibilidades para $N$.

Porém, note que dentre os três algarismos finais, dois deles se repetem. Sendo assim, a quantidade de ordenações desses algarismos corresponde a uma permutação de três elementos com repetição de dois: $P_3^2=\frac{3!}{2!}$ maneiras.

Logo, a quantidade de cartelas desse caso é:

$2·2·\frac{3!}{2!}=12 \text{cartelas}$

Portanto, João comprou $96+12=108$ cartelas, de modo que a afirmação (I) é VERDADEIRA.

Observe então que a quantidade de cartelas com os algarismos $1$ e $5$ é muito superior a $108$.

Com efeito, ao impor que apareçam pelo menos um algarismo $1$ e pelo menos um algarismo $5$ dentre os três últimos algarismos, podemos contabilizar $108$ cartelas, de modo análogo à contagem inicial.

Além destas, há aquelas cartelas nas quais o algarismo $1$ figura apenas como algarismo inicial e que possuem pelo menos um algarismo $5$ dentre os três algarismos finais.

Contabilizando a quantidade de tais cartelas, temos:

$$\begin{gathered} \underline{1} \underline{5} \underline{A} \underline{B} \to 9·9=81 \text{cartelas }(A\ne 1; B\ne 1) \left(a\right) \\ \underline{1} \underline{C} \underline{5} \underline{D} \to 8·9=72 \text{cartelas} (C\ne 5; C\ne 1; D\ne 1) \left(b\right) \\ \underline{1} \underline{E} \underline{F} \underline{5} \to 8·8=64 \text{cartelas } (E\ne 1; F\ne 1; E\ne 5; F\ne 5) \left(c\right) \end{gathered}$$

Note que A, B, C, D, E e F precisam ser diferentes de 1, pois os casos em que isso ocorre já estão contabilizados nas 108 cartelas anteriores.

Além disso, $C\ne 5$ tem a finalidade de evitar repetições com os casos já contabilizados em (a) e, analogamente, $E\ne 5$ e $F\ne 5$ evitam repetições com os casos já contabilizados em (a) e (b).

Assim, o total de cartelas com algarismos $1$ e $5$ é

$108+81+72+64=325\text{ cartelas}$

Concluímos assim que a afirmação (II) é FALSA.

Por fim, as cartelas que João comprou que possuem o algarismo $3$ são aquelas nas quais os três últimos algarismos são $2$, $3$ e $5$, enquanto o primeiro algarismo é o $0$ ou o $1$. Assim, a quantidade de cartelas compradas que possuem o algarismo $3$ é

$2·3!=12 \text{cartelas}$

Portanto, a afirmação (III) é FALSA.

Lembrando que uma função quadrática pode ser escrita em sua forma fatorada como:

$f\left(x\right)=m·\left(x-r_1\right)·\left(x-r_2\right)$,

onde $r_1$ e $r_2$ são os zeros da função (raízes) e $m$ é o coeficiente do termo quadrático. Assim, observando o gráfico da função quadrática dada, podemos observar que as raízes são iguais a $-2$ e $1$. Deste modo, substituindo, temos:

$f\left(x\right)=m·\left(x-1\right)·\left(x-\left(-2\right)\right)\iff f\left(x\right)=m·\left(x-1\right)·\left(x+2\right)$

Além disso, o ponto $\left(0,2\right)$ pertence ao gráfico desta parábola. Assim, substituindo, temos:

$f\left(x\right)=m·\left(x-1\right)·\left(x+2\right)\Rightarrow 2=m·\left(0-1\right)·\left(0+2\right)\iff 2=-2m\iff m=-1$

Assim, a função quadrática será:

$f\left(x\right)=-\left(x-1\right)·\left(x+2\right)\iff f\left(x\right)=-x^2-x+2$

A função afim pode ser escrita como $g\left(x\right)=cx+d$. Como os pontos $\left(-1,0\right)$ e $\left(0,2\right)$ pertencem à reta, temos:

$\left\{\begin{array}{l}0=-c+d\\ 2=0·c+d\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0=-c+d\\ 2=d\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=2\\ d=2\end{array}\right.\iff g\left(x\right)=2x+2$

Assim, para encontrarmos os pontos de intersecção entre os gráficos, basta que igualemos as expressões de $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$. Deste modo,

$-x^2-x+2=2x+2\iff x^2+3x=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ \text{ou}\\ x=-3\end{array}\right.$

Como o ponto P é um ponto de abscissa negativa, temos que $a=-3$. Substituindo na função afim, temos:

$g\left(-3\right)=2·\left(-3\right)+2=-4\Rightarrow b=-4$

Portanto, 

$\boxed{a+b=-3+\left(-4\right)=-7}$

Jan van der Straet (Giovanni Stradano) nasceu em Bruges e era filho de uma família nobre empobrecida. Durante o Século XVII, o artista aprendeu diversas técnicas pictóricas e gráficas, tendo trabalho em Roma, Nápoles e Pisa. Em uma de suas viagens à Antuérpia, Straet foi autor de inúmeras gravuras, alcançando grande fama com a elaboração de séries ou desenhos únicos (geralmente executados sob encomenda).  Por encomenda, o artista criou uma série de gravuras denominada Nova Reperta, da qual faz parte a imagem Vespúcio descobre a América. 

a) Incorreta. Podemos considerar a influência greco-latina na gravura somente no que se refere aos traços fisionômicos e à proporção do corpo. No entanto, considerando a concepção mais ampla e simbólica da gravura, Straet e alguns de seus contemporâneos buscavam demonstrar que a cultura dos gregos e romanos, que era tradicionalmente o modelo a ser comparado, tinha sido superada. Tais artistas buscavam enfatizar símbolos que representavam uma Nova Era (tais como a descoberta da América, a arma de fogo e a imprensa). Além disso, a afirmativa está incorreta também por afirmar o continente foi simbolizado pela paisagem típica e pela presença do navegador português, pois é a indígena que representa o Novo Mundo. 
b) Incorreta. A Idade Média se iniciou no século V d.C. e teve seu término no século XV d.C. Assim, o código visual da gravura não foi produzido em um contexto medieval, mas sim durante a Modernidade (séculos XV - XVIII). Além disso, a rede representada na imagem não é um artefato europeu, mas sim associado aos indígenas americanos. 
c) Correta. A imagem mostra uma indígena nua que se levanta da rede para falar com o europeu. América, representada pela a indígena de cabelos compridos, ornamento na canela direita e um enfeite na cabeça, observa o português. Já Vespúcio aparece vestido e armado, segurando nas mãos artefatos sugestivos de seus conhecimentos astronômicos. As imagens do continente americano produzidas nesse contexto foram feitas por artistas que nunca tinham visitado o Novo Mundo. Devido à impossibilidade de desenhos realizados in loco, a principal referência para a produção das imagens eram as descrições textuais, sendo essas muito pautadas pelo repertório do imaginário medieval. .
d) Incorreta. É correto afirmar que a imagem, que opõe a indígena nua e o navegador armado e vestido, pode ser interpretada a partir da oposição entre os conceitos de civilização e barbárie. No entanto, tal afirmativa é descartada ao afirmar que a América indígena é "grotesca, armada e opositora ao domínio dos europeus". A representação da América como um corpo nu feminino, que se levanta de uma rede em direção ao colonizador, é incompatível com a ideia de oposição ou resistência armada; pelo contrário, a sugestão é de o oferecimento à conquista dos colonizadores. 

a) Incorreta. Não é correto afirmar que o Quilombo dos Palmares se formou no espaço de antigas vilas coloniais. Os mocambos associados aos Palmares sequer constituíram pontos fixos ao longo dos anos, sendo realocados ou mesmo reconstruídos em virtude de necessidades naturais ou de ataques de forças inimigas. Tanto sua estrutura de defesa, com paliçadas e armadilhas, bem como a organização interna remontam aos espaços de acampamentos centro-africanos do século XVII e, embora resguardem alguma influência adquirida no contato com os colonos na América (como a presença de capelas), tratavam-se de comunidades com características bastante divergentes das vilas coloniais portuguesas.
b) Correta. Conforme o documento atesta, o território dos Palmares compreendia um grupo de mocambos, e não somente um único agrupamento de escravos fugidos. Além dos mocambos do Macaco e de Sirbupira citados pelo texto base, a documentação de época também revela a existência de outros núcleos populacionais, como Tabocas, Amaro, Zumbi e Andalaquituxe. Quanto à estrutura política palmarina, a documentação colonial reconhece a liderança de Ganga Zumba, “rei” que contava com uma rede de parentes o principal cargo político e militar nos vários mocambos que compunham Palmares. Tal organização remete às estruturas de reinos e sobados centro-africanos, também estados linhageiros e no qual o parentesco era determinante para a ocupação das chefias militar e políticas, indicando uma clara relação entre as estruturas políticas existentes em ambos os lados do Atlântico.
c) Incorreta. A rede de mocambos palmarinos não se originaram das influências urbanísticas nassalinas, mas sim traziam fortes influências centro-africanas. As próprias demandas militares dos mocambos determinavam muitas das características desses espaços, impondo mesmo um caráter provisório às comunidades que, segundo relatos, chegaram a ser cercados, atacados e deslocados ao longo de sua existência. Portanto, a organização desses espaços dialoga mais com elementos existentes em acampamentos militares da região de Congo-Angola do que com a lógica urbanística introduzida por Maurício de Nassau em Pernambuco.
d) Incorreta. Embora crioulos também habitassem os mocambos dos Palmares, não é possível inferir que estes compunham a maioria da população local. O grande afluxo de escravos centro-africanos para o Nordeste no século XVII, a baixa expectativa de vida dos cativos na região e a presença de costumes, tradições e práticas políticas centro-africanas em Palmares sugerem um grande número de escravos africanos em Palmares.

A questão traz um importante debate para as ciências humanas, a saber, o debate sobre direitos humanos. Embora a discussão seja amplamente conhecida nos dias de hoje, no sentido de se veicular em diferentes canais e circular em diferentes ambientes e contextos, a expressão e, mais ainda, a ideia, não é da história atual, de nossos dias, mas vem de longa data: pelo menos do final do século XVIII, no cenário da Revolução Francesa e de outros movimentos burgueses modernos. Aliás, é justamente a partir daí que o exercício começa, trazendo um texto para comentar a França dos últimos anos do século XVIII.
Ademais, a questão aborda os direitos humanos na perspectiva de seu nascimento, colocando os romances epistolares como fundamentais para a construção dessa ideia. E, tendo isso em vista, avaliamos os itens, como segue:
a) Correta. Podemos entender direitos humanos da seguinte forma: a ideia segundo a qual todos e todas necessitam de condições fundamentais mínimas para uma existência digna. Nesse viés, empatia e outros termos das ciências humanas, como alteridade e solidariedade, são necessários para colocar em prática essa "poderosa" ideia presente entre os franceses do final do século XVIII. Poderosa ideia que, como a alternativa coloca, começa a se concretizar quando da popularização dos romances epistolares (conforme menciona o texto que introduz o exercício), que fazem as pessoas de diferentes classes despertarem os anseios de liberdade individual e igualdade social, mais dois de tantos outros ingredientes que, quando somados, vão dando corpo e vida à construção dos direitos humanos, construção essa que já dura mais de dois séculos. Vale destacar que os romances epistolares eram aqueles com a narrativa elaborada a partir de correspondências. 
b) Incorreta. A alternativa está incorreta pois o texto não trata de romances policiais, mas sim de romances epistolares, aqueles construídos a partir de cartas ou diários. É também incorreto generalizar que o Terceiro Estado apoiava a tortura, vale ressaltar, por exemplo, que o desenvolvimento da guilhotina visava oferecer uma morte "igualitária" e eliminar os suplícios típicos do período medieval.  
c) Incorreta.  A alternativa erra ao afirmar que a Declaração dos Direitos do Homem e do Cidadão defendia uma concepção cristã de corpo, tema que não é sequer abordado em tal documento. 
d) Incorreta. A Declaração dos Direitos do Homem e do Cidadão não defendia um cidadão passivo e indiferente, como sugere a alternativa. A prática cidadã é sempre prática, como o próprio termo já diz e, por isso, ativa. Há de se lutar por igualdade, liberdade, fraternidade, Há de se lutar por cidadania e direitos humanos. Indiferença, sobretudo à violência e humilhação, não levam à construção dos direitos. Jean-Jacques Rousseau, citado no exercício, e tantos outros nomes da história do pensamento ocidental, falaram repetidas vezes sobre isso.

a) Incorreta. As duas telas estão inseridas no contexto da pintura histórica no Brasil. Ao longo do Império (1822-1889), especialmente a Academia Imperial de Belas Artes, havia o objetivo de contribuir, por meio das artes visuais, para a construção e consolidação de uma identidade nacional específica. Nesse sentido, artistas tais como Vitor Meirelles (1832-1908) e Pedro Américo (1843-1905), realizaram trabalhos ligados a temas chave nesse setor, como o início de nossa colonização (tela sobre a primeira missa) ou sobre o processo de independência (tela sobre o grito do Ipiranga). Nesse sentido, o objetivo final dos trabalhos não era “valorizar a história global e a Europa”, mas sim criar uma versão para a história nacional, centrada numa visão que valorizasse o Brasil e a construção de um passado para a nação.
b) Incorreta. As telas não tinham como ponto central a atuação dos trabalhadores, mas sim, no caso da Primeira Missa ressaltar a construção de um passado ligado ao cristianismo. Já a tela Independência ou Morte, destaca o papel heroico da figura de D. Pedro I para a conquista da independência.
c) Incorreta. Na verdade, as duas telas foram produzidas num contexto de criação e consolidação de identidades nacionais nos países das Américas que haviam conquistado a independência recentemente. Dessa forma, não foram produzidas em um momento histórico de colonização. De qualquer forma, esses trabalhos não visavam valorizar a diversidade étnica e a igualdade social, ao contrário, o protagonismo do passado era centrado nas elites. Dessa forma, os indígenas retratados na tela que retrata a primeira missa são coadjuvantes do protagonismo da Igreja Católica e, na tela sobre a independência, o povo está numa posição subalterna à figura do príncipe europeu.
d) Correta. No século 19, com a conquista da independência o Império muito investiu na construção de uma visão do passado que justificasse a consolidação de uma certa identidade nacional para os cidadãos brasileiros. Desde a atuação de intelectuais, tais como Araújo Porto Alegre, em instituições como o Instituto Histórico e Geográfico Brasileiro e a Academia Imperial de Belas Artes, esses propósitos foram se consolidando. Artistas como Vitor Meirelles e Pedro Américo muito contribuíram para esse propósito por meio de seus trabalhos, ligados a temas como o descobrimento, a independência e guerras.