Questão 51 Unicamp 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 51

Função Inversa

Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1. Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como “processamento de sinais”. Considere a função

$y = f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ ,

definida para $x \in ℝ$ , $x \neq 1$ , que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius.

Sobre a função inversa de $f (x)$ , é correto afirmar que

a)	$f^{- 1} (x) = f (x)$ , para $x \neq 1$
b)	$f^{- 1} (x) = \frac{1}{f (x)}$ , para $x \neq \pm 1$ .
c)	$f^{- 1} (x) = - f (x)$ , para $x \neq 1$ .
d)	$f^{- 1} (x) = f (- x)$ , para $x \neq 1$ .

Resolução

Sendo $f (x) = y = \frac{x + 1}{x - 1}$ , para encontrarmos a função inversa devemos trocar x e y de lugar na igualdade e isolarmos y. Deste modo, fazendo a troca, temos:

$x = \frac{y + 1}{y - 1} \Leftrightarrow x y - x = y + 1 \Leftrightarrow x y - y = x + 1 \Leftrightarrow y \cdot (x - 1) = x + 1$

Note, portanto, que para que possamos isolar y e encontrarmos a função inversa, devemos ter $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ . Assim,

$D o m (f^{- 1}) = ℝ - \{1\}$

Isolando y na igualdade, temos:

$y \cdot (x - 1) = x + 1 \Leftrightarrow y = \frac{x + 1}{x - 1} \Leftrightarrow f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$