Questão 55 Unicamp 2023 - 1ª fase

Analisemos primeiramente a quantidade de cartelas que João comprou.

Como os números vão de $0001$ até $2000$ e João não comprou a cartela de número $2000$ (pois esta não possui o algarismo $5$), o primeiro algarismo das cartelas que João comprou é o $0$ ou o $1$.

Dentre os três algarismos restantes, deve haver pelo menos um algarismo $2$ e um algarismo $5$. Seja $N$ o outro algarismo. Separamos a contagem em dois casos:

1º caso. $N\ne 2$ e $N\ne 5$.

Nesse caso, há $8$ possibilidades para $N$, além das duas possibilidades de escolha do primeiro algarismo ($0$ ou $1$).

Além disso, os algarismos $2$, $5$ e $N$ podem aparecer em qualquer ordem nas três últimas posições, o que corresponde a uma permutação de três elementos distintos: $P_3=3!$ maneiras.

Sendo assim, o total de cartelas desse caso é:

$2·8·3!=96 \text{cartelas}$

2º caso. $N=2$ ou $N=5$.

Nesse caso, há $2$ possibilidades para o algarismo inicial e outras duas possibilidades para $N$.

Porém, note que dentre os três algarismos finais, dois deles se repetem. Sendo assim, a quantidade de ordenações desses algarismos corresponde a uma permutação de três elementos com repetição de dois: $P_3^2=\frac{3!}{2!}$ maneiras.

Logo, a quantidade de cartelas desse caso é:

$2·2·\frac{3!}{2!}=12 \text{cartelas}$

Portanto, João comprou $96+12=108$ cartelas, de modo que a afirmação (I) é VERDADEIRA.

Observe então que a quantidade de cartelas com os algarismos $1$ e $5$ é muito superior a $108$.

Com efeito, ao impor que apareçam pelo menos um algarismo $1$ e pelo menos um algarismo $5$ dentre os três últimos algarismos, podemos contabilizar $108$ cartelas, de modo análogo à contagem inicial.

Além destas, há aquelas cartelas nas quais o algarismo $1$ figura apenas como algarismo inicial e que possuem pelo menos um algarismo $5$ dentre os três algarismos finais.

Contabilizando a quantidade de tais cartelas, temos:

$$\begin{gathered} \underline{1} \underline{5} \underline{A} \underline{B} \to 9·9=81 \text{cartelas }(A\ne 1; B\ne 1) \left(a\right) \\ \underline{1} \underline{C} \underline{5} \underline{D} \to 8·9=72 \text{cartelas} (C\ne 5; C\ne 1; D\ne 1) \left(b\right) \\ \underline{1} \underline{E} \underline{F} \underline{5} \to 8·8=64 \text{cartelas } (E\ne 1; F\ne 1; E\ne 5; F\ne 5) \left(c\right) \end{gathered}$$

Note que A, B, C, D, E e F precisam ser diferentes de 1, pois os casos em que isso ocorre já estão contabilizados nas 108 cartelas anteriores.

Além disso, $C\ne 5$ tem a finalidade de evitar repetições com os casos já contabilizados em (a) e, analogamente, $E\ne 5$ e $F\ne 5$ evitam repetições com os casos já contabilizados em (a) e (b).

Assim, o total de cartelas com algarismos $1$ e $5$ é

$108+81+72+64=325\text{ cartelas}$

Concluímos assim que a afirmação (II) é FALSA.

Por fim, as cartelas que João comprou que possuem o algarismo $3$ são aquelas nas quais os três últimos algarismos são $2$, $3$ e $5$, enquanto o primeiro algarismo é o $0$ ou o $1$. Assim, a quantidade de cartelas compradas que possuem o algarismo $3$ é

$2·3!=12 \text{cartelas}$

Portanto, a afirmação (III) é FALSA.