Em um sorteio com cartelas numeradas de 0001 a 2000, João decidiu comprar todas as cartelas em que a numeração exibisse os números 2 e 5, e nenhuma a mais. Por exemplo, João comprou as cartelas 1205 e 0025, mas não comprou as cartelas 0514 e 2000.
Considere as afirmações:
I) João comprou 108 cartelas.
II) Se ao invés das cartelas com 2 e 5, João tivesse comprado as cartelas com 1 e 5, ele teria comprado menos cartelas.
III) João comprou 18 cartelas que possuem o número 3.
Assinale a alternativa correta:
a) |
Todas as afirmações são verdadeiras. |
b) |
Apenas a afirmação I é verdadeira. |
c) |
Apenas a afirmação II é verdadeira. |
d) |
Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. |
Analisemos primeiramente a quantidade de cartelas que João comprou.
Como os números vão de até e João não comprou a cartela de número (pois esta não possui o algarismo ), o primeiro algarismo das cartelas que João comprou é o ou o .
Dentre os três algarismos restantes, deve haver pelo menos um algarismo e um algarismo . Seja o outro algarismo. Separamos a contagem em dois casos:
1º caso. e .
Nesse caso, há possibilidades para , além das duas possibilidades de escolha do primeiro algarismo ( ou ).
Além disso, os algarismos , e podem aparecer em qualquer ordem nas três últimas posições, o que corresponde a uma permutação de três elementos distintos: maneiras.
Sendo assim, o total de cartelas desse caso é:
2º caso. ou .
Nesse caso, há possibilidades para o algarismo inicial e outras duas possibilidades para .
Porém, note que dentre os três algarismos finais, dois deles se repetem. Sendo assim, a quantidade de ordenações desses algarismos corresponde a uma permutação de três elementos com repetição de dois: maneiras.
Logo, a quantidade de cartelas desse caso é:
Portanto, João comprou cartelas, de modo que a afirmação (I) é VERDADEIRA.
Observe então que a quantidade de cartelas com os algarismos e é muito superior a .
Com efeito, ao impor que apareçam pelo menos um algarismo e pelo menos um algarismo dentre os três últimos algarismos, podemos contabilizar cartelas, de modo análogo à contagem inicial.
Além destas, há aquelas cartelas nas quais o algarismo figura apenas como algarismo inicial e que possuem pelo menos um algarismo dentre os três algarismos finais.
Contabilizando a quantidade de tais cartelas, temos:
Note que A, B, C, D, E e F precisam ser diferentes de 1, pois os casos em que isso ocorre já estão contabilizados nas 108 cartelas anteriores.
Além disso, tem a finalidade de evitar repetições com os casos já contabilizados em (a) e, analogamente, e evitam repetições com os casos já contabilizados em (a) e (b).
Assim, o total de cartelas com algarismos e é
Concluímos assim que a afirmação (II) é FALSA.
Por fim, as cartelas que João comprou que possuem o algarismo são aquelas nas quais os três últimos algarismos são , e , enquanto o primeiro algarismo é o ou o . Assim, a quantidade de cartelas compradas que possuem o algarismo é
Portanto, a afirmação (III) é FALSA.