Questão 54 Unicamp 2023 - 1ª fase

Observe a figura a seguir:

Em um triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa. Logo, temos que

$AB=2·CM=10$

Para calcular a medida do lado $\overline{CB}$, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo $ABC$:

$$\begin{gathered} C{B}^2+C{A}^2=A{B}^2 \\ C{B}^2+6^2={10}^2 \\ C{B}^2=64 \\ CB=8 \end{gathered}$$

Solução I

Calculamos agora o valor de $\cos \alpha$ ao aplicar o Teorema dos Cossenos no triângulo $BCM$:

$$\begin{gathered} B{C}^2=M{C}^2+M{B}^2-2·MC·MB·\cos \alpha \\ {8}^2=5^2+5^2-2·5·5·\cos \alpha \\ 50·\cos \alpha =50-64 \\ \cos \alpha =-\frac{14}{50}=-\frac{7}{25} \end{gathered}$$

Finalmente, pela Relação Funamental da Trigonometria, obtemos:

$$\begin{gathered} {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1 \\ {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\left(-\frac{7}{25}\right)}^2=1 \\ {\mathrm{sen}}^2\alpha =1-\frac{49}{625} \\ {\mathrm{sen}}^2\alpha =\frac{576}{625} \end{gathered}$$

Como $0<\alpha <\pi$, seu seno é um valor positivo. Portanto,

$$\begin{gathered} \mathrm{sen}\alpha =\sqrt{\frac{576}{625}} \\ \mathrm{sen}\alpha =\frac{24}{25} \end{gathered}$$

Solução II

No triângulo ABC, temos:

$\mathrm{sen}\left(\beta \right)=\frac{AC}{AB}\Rightarrow \mathrm{sen}\left(\beta \right)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

No triângulo CMB, temos pelo teorema dos senos:

$\frac{CB}{\mathrm{sen}\left(\alpha \right)}=\frac{CM}{\mathrm{sen}\left(\beta \right)}\iff \frac{8}{\mathrm{sen}\left(\alpha \right)}=\frac{5}{{\displaystyle \frac{3}{5}}}\iff \boxed{\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=\frac{24}{25}}$