Questão 53 Unicamp 2023 - 1ª fase

Solução 1

Para que o sistema linear apresentado apresente infinitas soluções, ou seja, que ele seja possível e indeterminado, o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema deve ser nulo. Assim, temos:

$\left|\begin{array}{cc}a& -1\\ \left(4-5a^2\right)& a\end{array}\right|=0\iff a^2-\left(-4+5a^2\right)=0\iff 4-4a^2=0\iff a=\pm 1$

Entretanto, um sistema impossível (sem solução) também apresenta determinante da matriz dos coeficientes nulo. Assim, devemos substituir os valores encontrados acima e escalonar o sistema. Deste modo, temos:

Para  $a=1$, 

$\left\{\begin{array}{l}ax-y=\left|a\right|\\ \left(4-5a^2\right)·x+ay=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ -x+y=1\end{array}\right.$

Multiplicando a segunda linha por -1, temos:

$\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ x-y=-1\end{array}\right.$

Observe, portanto, que há uma contradição nas informações da primeira e da segunda linha. Assim, para $a=1$ o sistema é impossível, não tendo solução.

Para  $a=-1$, 

$\left\{\begin{array}{l}ax-y=\left|a\right|\\ \left(4-5a^2\right)·x+ay=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-x-y=1\\ -x-y=1\end{array}\right.$

Observe que as duas linhas são idênticas, havendo, portanto, uma informação em duplicidade. Deste modo, este sistema pode ser reduzido para

$-x-y=1\iff y=-x-1$

Com uma única equação e duas incógnitas, para cada valor de x, teremos um valor diferente para y, sendo sua solução

$S=\left\{\left(x,-x-1\right); x\in \mathrm{ℝ}\right\}$

Assim, para $\boxed{a=-1}$  o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

Solução 2

Observando o sistema

$\left\{\begin{array}{l}ax-y=\left|a\right|\\ \left(4-5a^2\right)·x+ay=1\end{array}\right.$

Supondo $a\ne 0$, podemos trocar a segunda linha por ela mesma mais a vezes a primeira linha, assim:

$\left\{\begin{array}{l}ax-y=\left|a\right|\\ \left(4-5a^2\right)·x+ay=1\end{array}\right.\stackrel{L_2\to L_2+a·L_1}{\Rightarrow }\left\{\begin{array}{l}ax-y=\left|a\right|\\ \left(4-4a^2\right)·x=a·\left|a\right|+1\end{array}\right.$

Observemos a segunda linha do sistema. Para que este sistema linear apresente infinitas soluções o coeficiente de x deve ser nulo, caso contrário haveria apenas uma solução para a incógnita x e, portanto, apenas uma solução para y, indicando um sistema possível e determinado. Deste modo, temos:

$4-4a^2=0\iff a^2=1\iff a=\pm 1$

Para $a=1$, temos:

$\left(4-4a^2\right)·x=a·\left|a\right|+1\Rightarrow 0x=1·\left|1\right|+1\iff 0x=2$

Note, porém, que o lado esquerdo da equação é igual a 0 e o lado direito da equação é igual a 2. Sendo assim, este seria um sistema impossível.

Para $a=-1$, temos:

$\left(4-4a^2\right)·x=a·\left|a\right|+1\Rightarrow 0x=-1·\left|-1\right|+1\iff 0x=-1+1\iff 0x=0$

Note, então, que independente do valor de x, a equação é satisfeita. Logo, há infinitas soluções. Deste modo, o único valor de a que torna o sistema possível e indeterminado (com infinitas soluções) é $\boxed{a=-1}$.

Cabe ressaltar que nossa suposição inicial era $a$ não nulo, deste modo, verificando o caso $a=0$, temos:

$\left\{\begin{array}{l}ax-y=\left|a\right|\\ \left(4-5a^2\right)·x+ay=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-y=0\\ 4x=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Ou seja, o sistema teria apenas uma solução, sendo possível e determinado.