Questão 56 Unicamp 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 56

Função Quadrática Função Afim

Na figura abaixo estão representados os gráficos de uma parábola, de uma reta, e o ponto $P = (a, b)$ , que é um dos pontos de intersecção da reta com a parábola.

O valor de $a + b$ é

a)	-7,5
b)	-7
c)	-6,5
d)	-6

Resolução

Lembrando que uma função quadrática pode ser escrita em sua forma fatorada como:

$f (x) = m \cdot (x - r_{1}) \cdot (x - r_{2})$ ,

onde $r_{1}$ e $r_{2}$ são os zeros da função (raízes) e $m$ é o coeficiente do termo quadrático. Assim, observando o gráfico da função quadrática dada, podemos observar que as raízes são iguais a $- 2$ e $1$ . Deste modo, substituindo, temos:

$f (x) = m \cdot (x - 1) \cdot (x - (- 2)) \Leftrightarrow f (x) = m \cdot (x - 1) \cdot (x + 2)$

Além disso, o ponto $(0, 2)$ pertence ao gráfico desta parábola. Assim, substituindo, temos:

$f (x) = m \cdot (x - 1) \cdot (x + 2) \Rightarrow 2 = m \cdot (0 - 1) \cdot (0 + 2) \Leftrightarrow 2 = - 2 m \Leftrightarrow m = - 1$

Assim, a função quadrática será:

$f (x) = - (x - 1) \cdot (x + 2) \Leftrightarrow f (x) = - x^{2} - x + 2$

A função afim pode ser escrita como $g (x) = c x + d$ . Como os pontos $(- 1, 0)$ e $(0, 2)$ pertencem à reta, temos:

$\{\begin{cases} 0 = - c + d \\ 2 = 0 \cdot c + d \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 = - c + d \\ 2 = d \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 2 \\ d = 2 \end{cases} \Leftrightarrow g (x) = 2 x + 2$

Assim, para encontrarmos os pontos de intersecção entre os gráficos, basta que igualemos as expressões de $f (x)$ e $g (x)$ . Deste modo,

$- x^{2} - x + 2 = 2 x + 2 \Leftrightarrow x^{2} + 3 x = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ ou \\ x = - 3 \end{cases}$

Como o ponto P é um ponto de abscissa negativa, temos que $a = - 3$ . Substituindo na função afim, temos:

$g (- 3) = 2 \cdot (- 3) + 2 = - 4 \Rightarrow b = - 4$

Portanto,

$a + b = - 3 + (- 4) = - 7$