Questão 52 Unicamp 2023 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 52

Sequências

Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1. Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como “processamento de sinais”. Considere a função

$y = f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ ,

definida para $x \in ℝ$ , $x \neq 1$ , que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius.

Considere a sequência $x_{1}, x_{2} . . .$ , definida por $x_{1} = 6$ , e para cada $n \geq 1$ , temos $x_{n + 1} = f (x_{n})$ , ou seja,

• $x_{1 =} 6$ ,

• $x_{2} = f (x_{1}) = \frac{7}{5},$

• $x_{3 =} f (x_{2}),$

e assim sucessivamente. Então, a soma dos 100 primeiros termos desta sequência vale

a)	140.
b)	370.
c)	600.
d)	740.

Resolução

Sendo $x_{1} = 6$ e $x_{n + 1} = f (x_{n})$ , como foi fornecido pelo enunciado, temos

$x_{2} = f (6) x_{2} = \frac{6 + 1}{6 - 1} x_{2} = \frac{7}{5}$

Calculando o valor de $x_{3}$ , encontramos

$x_{3} = f (\frac{7}{5}) x_{3} = \frac{\frac{7}{5} + 1}{\frac{7}{5} - 1} x_{3} = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{2}{5}} x_{3} = 6$

Como a sequência é obtida de maneira recursiva (cada termo, a partir do segundo, depende do anterior) e $x_{3} = x_{1}$ , a sequência fica se alternando entre os valores $6$ e $\frac{7}{5}$ .

Nesse caso, dos 100 primeiros termos da sequência, 50 são iguais a $6$ , enquanto os outros 50 são iguais a $\frac{7}{5}$ .

Portanto, a soma dos 100 primeiros termos é

$\sum_{i = 1}^{100} x_{i} = 50 \cdot 6 + 50 \cdot \frac{7}{5} = 370$