Unicamp 2020 - 1ª fase

Questão 71 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Energia Cinética na Dinâmica

As agências espaciais NASA (norte-americana) e ESA (europeia) desenvolvem um projeto para desviar a trajetória de um asteroide através da colisão com uma sonda especialmente enviada para esse fim. A previsão é que a sonda DART (do inglês, “Teste de Redirecionamento de Asteroides Duplos”) será lançada com a finalidade de se chocar, em 2022, com Didymoon, um pequeno asteroide que orbita um asteroide maior chamado Didymos.

A massa da sonda DART será de $m_{s o n d a} = 300 kg$ , e ela deverá ter a velocidade $v_{s o n d a} = 6 km / s$ imediatamente antes de atingir Didymoon. Assim, a energia cinética da sonda antes da colisão será igual a

a)	$1, 8 \times 10^{3} J .$
b)	$5, 4 \times 10^{3} J .$
c)	$1, 8 \times 10^{6} J .$
d)	$5, 4 \times 10^{9} J .$

Resolução

A velocidade da sonda, cuja massa é $m = 300 kg$ , tem módulo $v = 6 km / s = 6 \cdot 10^{3} m / s$ . Logo sua energia cinética é dada por

$E_{C I N} = \frac{1}{2} m \cdot v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 300 \cdot {(6 \cdot 10^{3})}^{2} = 5, 4 \cdot 10^{9} J .$

Questão 72 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Choque Perfeitamente Inelástico

Numa colisão inelástica da sonda DART com o asteroide Didymoon,

a)	a energia cinética do conjunto sonda + asteroide é conservada e o momento linear do conjunto também é conservado.
b)	a energia cinética do conjunto sonda + asteroide não é conservada; já o momento linear do conjunto é conservado.
c)	a energia cinética do conjunto sonda + asteroide é conservada; já o momento linear do conjunto não é conservado.
d)	a energia cinética do conjunto sonda + asteroide não é conservada e o momento linear do conjunto também não é conservado.

Resolução

Colisões inelásticas são caracterizadas por não conservação da energia cinética total dos corpos que interagem, sendo parte desta energia dissipada, por exemplo, na forma de energia térmica e energia mecânica vibracional. Além disso, como colisões usualmente são processos rápidos comparados a outros fenômenos que aconteçam concomitantemente a ela, sistemas onde elas ocorrem podem ser considerados isolados, logo conservam o vetor quantidade de movimento (ou momento linear) total.

Questão 73 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Aceleração Vetorial Centrípeta

Obs.: aproxime $π = 3, 0$ sempre que necessário.

O asteroide satélite Didymoon descreve uma órbita circular em torno do asteroide principal Didymos. O raio da órbita é $r = 1, 6 km$ e o período é $T = 12 h$ . A aceleração centrípeta do satélite vale

a)	$8, 0 \times 10^{- 1} km / h^{2} .$
b)	$4, 0 \times 10^{- 1} km / h^{2} .$
c)	$3, 125 \times 10^{- 1} km / h^{2} .$
d)	$6, 667 \times 10^{- 2} km / h^{2} .$

Resolução

Como Didymoon percorre óbrita circular com raio constante $R = 1, 6 km$ e período $T = 12 h$ , podemos considerar que seu movimento é uniforme com velocidade escalar dada por, considerando $π = 3$ ,

$v = \frac{2 π R}{T} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 1, 6}{12} = 0, 8 km / h .$

Note que as unidades utilizadas são $km$ (quilômetro) para as distâncias e $h$ (hora) para o tempo. Assim, o módulo da aceleração centrípeta do Didymoon é

$a_{C P} = \frac{v^{2}}{R} = \frac{0, 8^{2}}{1, 6} = 0, 4 km / h^{2} .$

Questão 74 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equilíbrio de Ponto Material

As escadas flutuantes em cascata feitas em concreto armado são um elemento arquitetônico arrojado, que confere leveza a uma estrutura intrinsecamente massiva. Essas escadas são apoiadas somente na extremidade superior (normalmente em uma parede) e no chão. O esquema abaixo mostra as forças aplicadas na escada pela parede ( $\vec{F_{p}}$ ) e pelo chão ( $\vec{F_{c}}$ ), além da força peso ( $m \vec{g}$ ) aplicada pela Terra, todas pertencentes a um plano vertical.

Com base nesse esquema, é correto afirmar que

a)	$F_{P} \cos θ_{P} = F_{C} \cos θ_{C} e F_{P} sen θ_{P} + F_{C} sen θ_{C} = m g .$
b)	$F_{P} sen θ_{P} = F_{C} sen θ_{C} e F_{P} \cos θ_{P} + F_{C} \cos θ_{C} = m g .$
c)	$F_{P} \cos θ_{P} = F_{C} \cos θ_{C} e F_{P} + F_{C} = m g .$
d)	$F_{P} = F_{C} e F_{P} sen θ_{P} + F_{C} sen θ_{C} = m g .$

Resolução

Para que a escada permaneça em equilíbrio estático, é necessário que a resultante das forças sobre a escada seja nula. Fazendo a decomposição das forças que agem na escada em um eixo horizontal (que chamaremos de x) e um eixo vertical (que chamaremos de y) obtemos o representado na figura a seguir.

A condição de que a soma vetorial das forças que agem no sistema dê zero implica que:

$Σ {\vec{F}}_{x} = 0 \Rightarrow F_{P} \cdot \cos θ_{P} = F_{C} \cdot \cos θ_{C}$

$Σ {\vec{F}}_{y} = 0 \Rightarrow F_{P} \cdot sen θ_{P} + F_{C} \cdot sen θ_{C} = m \cdot g$ .

Portanto, a alternativa A é a correta.

Questão 75 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equações de Clapeyron (Física)

O CO₂ dissolvido em bebidas carbonatadas, como refrigerantes e cervejas, é o responsável pela formação da espuma nessas bebidas e pelo aumento da pressão interna das garrafas, tornando-a superior à pressão atmosférica. O volume de gás no “pescoço” de uma garrafa com uma bebida carbonatada a 7 ºC é igual a 24 ml, e a pressão no interior da garrafa é de $2, 8 \times 10^{5} Pa$ . Trate o gás do “pescoço” da garrafa como um gás perfeito. Considere que a constante universal dos gases é de aproximadamente $8 J / mol \cdot K$ e que as temperaturas nas escalas Kelvin e Celsius relacionam-se da forma $T (K) = θ (º C) + 273$ . O número de moles de gás no “pescoço” da garrafa é igual a

a)	$1, 2 \times 10^{5} .$
b)	$3, 0 \times 10^{3} .$
c)	$1, 2 \times 10^{- 1} .$
d)	$3, 0 \times 10^{- 3} .$

Resolução

Analisaremos esta situação com todas as unidades expressas no Sistema Internacional. A pressão do gás no pescoço é $P = 2, 8 \cdot 10^{5} Pa$ . Além disso, sua temperatura absoluta é

$T = θ + 273 = 7 + 273 = 280 K,$

e seu volume

$V = 24 m l = 24 \cdot 10^{- 3} l = 24 \cdot 10^{- 6} m^{3},$

onde foi considerado que $1 l = 10^{- 3} m^{3}$ .

Considerando esta porção de gás como ideal, e usando a constante universal dos gases $R = 8 J / mol \cdot K$ , temos que

$P \cdot V = n \cdot R \cdot T \Rightarrow$

$2, 8 \cdot 10^{5} \cdot 24 \cdot 10^{- 6} = n \cdot 8 \cdot 280 \Rightarrow$

$n = 3 \cdot 10^{- 3} mol .$

Questão 76 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Campo elétrico uniforme Força Peso Equações do M.U.V.

Existem na natureza forças que podemos observar em nosso cotidiano. Dentre elas, a força gravitacional da Terra e a força elétrica. Num experimento, solta-se uma bola com carga elétrica positiva, a partir do repouso, de uma determinada altura, numa região em que há um campo elétrico dirigido verticalmente para baixo, e mede-se a velocidade com que ela atinge o chão. O experimento é realizado primeiramente com uma bola de massa m e carga q, e em seguida com uma bola de massa 2m e mesma carga q.

Desprezando a resistência do ar, é correto afirmar que, ao atingir o chão,

a)	as duas bolas terão a mesma velocidade.
b)	a velocidade de cada bola não depende do campo elétrico.
c)	a velocidade da bola de massa m é maior que a velocidade da bola de massa 2m.
d)	a velocidade da bola de massa m é menor que a velocidade da bola de massa 2m.

Resolução

Para determinar a velocidade de cada bola imediatamente antes da atingir o chão, podemos calcular sua aceleração e depois calcular suas velocidades a partir da equação de Torricelli.

Experimento 1 (bola de massa $m$ ).

De acordo com a segunda lei de Newton

$F_{R} = m \cdot a$ ,

sendo, neste caso, o módulo da força resultante igual à soma do módulo do peso com o módulo da força elétrica, temos que

$F_{R} = F_{e l} + P \Rightarrow$

$m \cdot a_{1} = q \cdot E + m \cdot g \Rightarrow$

$a_{1} = \frac{q \cdot E}{m} + g$ ,

em que $a_{1}$ é a aceleração da massa 1. Considerando que a bola 1 parta do repouso (pois é solta), a velocidade com que atinge o chão após cair por uma altura $Δ s$ , pode ser então determinada:

${v_{1}}^{2} = {v^{2}}_{1, i n i c i a l} + 2 \cdot a_{1} \cdot Δ s \Rightarrow$

${v_{1}}^{2} = 0 + 2 \cdot (\frac{q E}{m} + g) \cdot Δ s \Rightarrow$

$v_{1} = \sqrt{2 \cdot (\frac{q E}{m} + g) \cdot Δ s} .$

Experimento 2 (bola de massa $2 m$ ).

Fazendo um desenvolvimento análogo, temos, agora para a bola de massa $2 m$ ,

$substituindo a_{2} = \frac{q \cdot E}{2 m} + g em {v_{2}}^{2} = {v^{2}}_{2, i n i c i a l} + 2 \cdot a_{2} \cdot Δ s$

$\Rightarrow v_{2} = \sqrt{2 \cdot (\frac{q E}{2 m} + g) \cdot Δ s} .$

Comparando as expressões, verifica-se que $v_{1} > v_{2}$ , já que o denominador dentro da raiz em $v_{2}$ é maior.

Uma outra forma de se chegar a este resultado de maneira menos algébrica consiste em considerar o efeito adicional da força elétrica atuando sobre cada uma das bolas. Devido à gravidade ambas teriam a mesma aceleração, $g$ ; porém a força elétrica produz uma aceleração adicional a $g$ sobre cada uma, dada pelo termo $q \cdot E / m$ (onde aqui $m$ indica a massa de cada bola). Esta aceleração é maior sobre a bola 1, pois sua massa é menor, logo 1 deve atingir o solo, em condições de queda similares à bola 2, com velocidade maior do que a de 2.

Questão 77 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equação fundamental da ondulatória Espectro da radiação eletromagnética

Em 2019 foi divulgada a primeira imagem de um buraco negro, obtida pelo uso de vários radiotelescópios. Também recentemente, uma equipe da NASA propôs a utilização de telescópios de infravermelho para detectar antecipadamente asteroides que se aproximam da Terra.

Considere que um radiotelescópio detecta ondas eletromagnéticas provenientes de objetos celestes distantes na frequência de rádio $f_{r á d i o} = 1, 5 GHz$ , e que um telescópio de infravermelho detecta ondas eletromagnéticas originadas em corpos do sistema solar na frequência de infravermelho $f_{i n f r a v e r m e l h o} = 30 THz$ . Qual é a razão entre os correspondentes comprimentos de onda no vácuo, $\frac{λ_{r á d i o}}{λ_{i n f r a v e r m e l h o}}$ ?

a)	$5, 0 \times 10^{- 5} .$
b)	$6, 7 \times 10^{- 5} .$
c)	$2, 0 \times 10^{4} .$
d)	$6, 0 \times 10^{12} .$

Resolução

A partir da equação fundamental da ondulatória, o comprimento de onda $λ$ de uma onda pode ser expresso em termos de sua velocidade $v$ e de sua frequência $f$ da seguinte forma:

$v = λ \cdot f \Rightarrow λ = \frac{v}{f} .$

É possível utilizar a relação acima para reescrever a razão $R$ entre os comprimentos de onda de ambas as radiações em termos de suas frequências:

$R = \frac{λ_{r á d i o}}{λ_{i n f r a v e r m e l h o}} = \frac{\frac{v_{l u z}}{f_{r á d i o}}}{\frac{v_{l u z}}{f_{i n f r a v e r m e l h o}}} = \frac{f_{i n f r a v e r m e l h o}}{f_{r á d i o}} .$

Logo,

$R = \frac{30 \cdot 10^{12}}{1, 5 \cdot 10^{9}} = 2 \cdot 10^{4} .$

Questão 78 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Construção Geométrica (Lentes)

A lupa é um instrumento óptico simples formado por uma única lente convergente. Ela é usada desde a Antiguidade para observar pequenos objetos e detalhes de superfícies. A imagem formada pela lupa é direta e virtual. Qual figura abaixo representa corretamente o traçado dos raios luminosos principais provenientes de um determinado ponto de um objeto observado por uma lupa? Nessas figuras, ( $f$ ) e ( $f'$ ) representam os pontos focais, ( $o$ ) o objeto e ( $i$ ) a imagem.

a)
b)
c)
d)

Resolução

De acordo com o enunciado, uma lupa é formada por uma lente convergente, e a imagem formada é virtual e direita. Consideremos as seguintes propriedades de dois raios notáveis das lentes convergentes:

1 – um raio que atinge a lente incidindo em uma direção paralela ao eixo principal, emerge da lente passando pelo foco imagem ( $f'$ ) da lente;

2 – um raio que atinge o centro óptico da lente não sofre desvio em sua trajetória.

Podemos ver que todos os esquemas respeitam a propriedade 2 porém os esquemas dos itens B e D não respeitam a propriedade 1 das lentes convergentes; em particular, a alternativa B representa corretamente o esquema de formação de imagem de uma lente divergente. Ainda com base na propriedade 1, vemos que o esquema do item C também está incorreto, pois o raio emergente que deveria passar pelo foco não o faz.

Resta portanto o item A, que representa corretamente os raios de luz que saem do objeto e atravessam a lente formando a imagem direita e maior, como mencionado no enunciado.

Questão 79 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Associação Mista de Resistores

Em analogia com um circuito elétrico, a transpiração foliar é regulada pelo conjunto de resistências (medidas em segundos/metro) existentes na rota do vapor d’água entre os sítios de evaporação próximos à parede celular no interior da folha e a atmosfera. Simplificadamente, há as resistências dos espaços intercelulares de ar ( $r_{e i a}$ ), as induzidas pela presença dos estômatos ( $r_{e s t}$ ) e da cutícula ( $r_{c u t}$ ) e a promovida pela massa de ar próxima à superfície das folhas ( $r_{c l}$ ). O esquema abaixo representa as resistências mencionadas.

A tabela a seguir apresenta os valores das resistências de duas espécies de plantas (espécie 1 e espécie 2).

Resistências
(segundos/metro)

Espécie
1

Espécie
2

$r_{e i a}$

$r_{e s t}$

$r_{c u t}$

$r_{c l}$

120

280

Tendo em vista os dados apresentados e considerando que a condutância é o inverso da resistência, assinale a alternativa que indica a espécie com menor transpiração e sua respectiva condutância total à difusão do vapor d’água entre os sítios de evaporação e a atmosfera.

a)	espécie 1; 48 x 10^-4 m/s.
b)	espécie 1; 125 x 10^-4 m/s.
c)	espécie 2; 30 x 10^-4 m/s.
d)	espécie 2; 200 x 10^-4 m/s.

Resolução

Para ambas as espécies de plantas consideradas no enunciado, a resistência equivalente total $r_{e q}$ pode ser calculada utilizando-se as seguintes etapas:

i) determinar $r' = r_{e i a} + r_{e s t}$ , devido à associação em série entre o espaço intercelular de ar e os estômatos;

ii) determinar $r'' = \frac{r_{c u t} \cdot r'}{r_{c u t} + r'}$ , devido à associação em paralelo entre o conjunto que compõe $r'$ e a cutícula;

iii) determinar $r_{e q} = r'' + r_{c l}$ , devido à associação em série entre $r''$ e a superfície das folhas.

Para a espécie 1, seguindo as etapas, e indicando a resistência em unidades de s/m:

$\begin{aligned} r'_{1} = & 10 + 30 = 40 s / m; \\ r {''}_{1} = & \frac{120 \cdot 40}{120 + 40} = 30 s / m; \\ r_{e q 1} = & 30 + 50 = 80 s / m . \end{aligned}$

De modo similar, para a espécie 2,

$\begin{aligned} r'_{2} = & 30 + 10 = 40 s / m; \\ r {''}_{2} = & \frac{280 \cdot 40}{280 + 40} = 35 s / m; \\ r_{e q 2} = & 35 + 15 = 50 s / m . \end{aligned}$

Nota-se que $r_{e q 2} < r_{e q 1}$ , de forma que a espécie com menor transpiração é a espécie 1, de maior resistência ao movimento do vapor d'água. Como a condutância é o inverso da resistência, $G = 1 / R$ , sua condutância é dada por

$G_{1} = \frac{1}{r_{e q 1}} = \frac{1}{80} = 125 \cdot 10^{- 4} m / s .$

Questão 80 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

MMC Semântica

“(...) as palavras tomam significados distintos daqueles utilizados no cotidiano. Por exemplo, utiliza-se, com frequência, nas aulas sobre frações, a frase reduzir ao mesmo denominador."

(Edi Jussara Candido Lorensatti, Linguagem matemática e Língua Portuguesa: diálogo necessário na resolução de problemas matemáticos. Conjectura: Filosofia e Educação. Caxias do Sul, v. 14, n. 2, p. 91, maio/ago. 2009.)

Cada ciência usa uma linguagem própria e com um grau de precisão terminológica necessário para o seu exercício. Tendo em vista os significados distintos que as palavras assumem nas situações concretas em que são empregadas, o verbo “reduzir”, no uso cotidiano, significa

a)	limitar alguma coisa, ao passo que na linguagem matemática é sinônimo de restringir.
b)	moderar alguma coisa, ao passo que na linguagem matemática implica aumentar as relações entre os números.
c)	eliminar alguma coisa, ao passo que na linguagem matemática implica reverter as relações entre os números.
d)	diminuir alguma coisa, ao passo que na linguagem matemática é sinônimo de converter.

Resolução

O verbo “reduzir”, senso comum, significa “diminuir”, “restringir”, “limitar”. Se alguém diz que precisa reduzir o estresse, é provável que se entenda que que essa pessoa deve limitar as situações em que se irrita, restringir os momentos de nervosismo. O mesmo acontecerá ao que deseja reduzir os doces de sua dieta, porque ele diminuirá o consumo de açúcar. Esse verbo, portanto, é antônimo de “aumentar”, “ilimitar”. Já na linguagem matemática, esse verbo assume um sentido totalmente específico. Suponha-se um cálculo: a soma das frações 3/4 e 1/2. Como essas frações têm denominadores distintos (4 e 2, respectivamente), só é possível somá-las se reduzirmos seus denominadores diferentes ao mesmo. Portanto, “reduzir”, neste contexto matemático, é encontrar um único denominador que permita que essas duas frações sejam somadas (isto é, calcular o mínimo múltiplo comum dos números 4 e 2, que é 4). Assim, 3/4 + 1/2 = 3/4 + 2/4 = 5/4. Assim, convertemos os denominadores diferentes, 4 e 2, no mesmo, 4. Um sinônimo adequado para "reduzir" no contexto matemático, por tudo isso, seria “converter”.