Unicamp 2020 - 1ª fase

Podemos dizer que duas cidades são antípodas quando estão latitudinal e longitudinalmente distantes 180° entre si. Levando em conta tal afirmação:

Vejamos a imagem de duas regiões antípodas Latitudinalmente:

Adaptado de: https://br.pinterest.com/pin/853502566854535385/

Por isso sempre teremos X°Sul como Antipoda de X°Norte

Quando pensamos em antípoda longitudinal, temos:

Adaptado de: http://www.rc.unesp.br/igce/planejamento/download/isabel/cart_top_ecologia/Aula%204/projecoes%20cartograficas.pdf

Por isso sempre teremos como Antipoda de uma longitude Y°Oeste = 180°- Longitude W°leste.

a) Incorreta.  É fato que 15°S é antípoda dos 15°N, pois estão distantes 180° entre si, porém é falso dizer que 60°O e 60°L são antípodas, pois estão distantes apenas 120° entre si.

b) Incorreta. É fato que 4°S é antípoda dos 4°N, pois estão distantes 180° entre si, porém é falso dizer que 63°O e 63°L são antípodas, pois estão distantes apenas 126° entre si.

c) Correta. É fato que 4°S é antípoda dos 4°N. pois estão distantes 180° entre si, e igualmente é verdadeiro afirmar que 63°O e 117°L são antípodas, pois estão distantes 180° entre si, conforme vemos nos desenhos acima.

d) Incorreta. É falso dizer que 15°S é antípoda dos 75°N, pois não estão distantes 180° entre si, mas é verdadeiro afirmar que 60°O e 120°L são antípodas, pois estão distantes 180° entre si, conforme vemos nos desenhos acima.

Assumindo como x o número de filhos e y o número de filhas, então, podemos montar a seguinte tabela:

Pelo enunciado temos que cada filha tem o mesmo número de irmãs e irmãos, ou seja:

$x=y-1$ , (i)

E, temos também, que cada filho tem o número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos, isto é:

$y=2·\left(x-1\right)$ , (ii)

Substituindo a equação (i) na equação (ii):

$y=2·\left(y-1-1\right)\Rightarrow y=2y-4\Rightarrow y=4$

Consequentemente,

 $x=4-1=3$.

Portanto, o número total de filhos e filhas dessa família é $4+3=7$ .

Para calcular o total de posições distintas para as cinco pessoas serem fotografadas, podemos calcular:

(1) o total de possibilidades (sem restrição alguma) da troca de ordem de todas as cinco pessoas:

$T=P_5=5!=120 possibilidades$

(2) a restrição, que acontece quando as duas pessoas se recusam a ficar lado a lado. Para isso, temos o seguinte esquema:

$\underline{ \boxed{\underline{ }. \underline{ }} } . \underline{ } . \underline{ } . \underline{ }$

Assim, temos duas permutações: a interna (dentro do retângulo) e a externa (quantidade de $\underline{ }$). Daí: 

    i. permutação interna: $P_2=2!=2$

    ii. permutação externa: $P_4=4!=24$

Logo, o total de possibilidades da restrição é dado por:

$R=2!·4!=2·24\Rightarrow R=48 possibilidades$

Assim, concluímos que o total de possibilidades das cinco pessoas serem fotografadas juntas é de:

$t=T-R=120-48\Rightarrow \boxed{t=72 possibilidades}$

Como a probabilidade de o atleta ganhar a prova é de $\frac{2}{3}$, então a probabilidade de perder é dada por:

$P\left(perder\right)=1-P\left(ganhar\right)=1-\frac{2}{3}\Rightarrow P\left(perder\right)=\frac{1}{3}$

Assim, para calcular a probabilidade de o atleta vencer o torneio, temos que considerar dois casos:

(1) o atleta ganha exatamente duas partidas:

$P_1=\stackrel{G}{\overbrace{\frac{2}{3}}}·\stackrel{G}{\overbrace{\frac{2}{3}}}·\stackrel{P}{\overbrace{\frac{1}{3}}}·\frac{3!}{2!}=\frac{4}{27}·\frac{3!}{2!}\Rightarrow P_1=\frac{12}{27}$

Importante ressaltar que é preciso fazer a permutação das letras G, G e P (permutação com repetição, no caso) para calcular o total de casos em que o atleta ganha exatamente duas partidas, uma vez que não sabemos qual das partidas ele vai perder.

(2) o atleta ganha as três partidas:

$P_1=\stackrel{G}{\overbrace{\frac{2}{3}}}·\stackrel{G}{\overbrace{\frac{2}{3}}}·\stackrel{G}{\overbrace{\frac{2}{3}}}=\frac{8}{27}\Rightarrow P_2=\frac{8}{27}$

Logo, a probabilidade de o atleta vencer o torneio é:

$P=P_1+P_2=\frac{12}{27}+\frac{8}{27}\Rightarrow \boxed{P=\frac{20}{27}}$

Temos que a função $f$ é dada por $f\left(x\right)=ax+2$, com $a\in \mathrm{ℝ}$. 

Buscamos o valor de $a$ ,tal que:

 $f\left(f\left(1\right)\right)=1$ .

Como 

 $f\left(1\right)=a·1+2=a+2$,

então: 

$f\left(a+2\right)=1\Rightarrow$$a·\left(a+2\right)+2=1\Rightarrow$

$a^2+2a+1=0\Rightarrow$${\left(a+1\right)}^2=0\Rightarrow$

$a+1=0\Rightarrow$$a=-1$

Seja a equação quadrática  $2x^2+ax+10=0$ , com raízes $r_1$ e $r_2$ .

Por hipótese, as raízes dessa equação são números inteiros, então, pelas relações de Girard (soma e produto), temos que o produto entre as raízes é dado por:

$r_1·r_2=\frac{10}{2}\iff r_1·r_2=5$

Como 5 é um número primo temos duas possibilidades para as raízes inteiras:

(i) $r_1=1$ e $r_2=5$

(ii)  $r_1=-1$ e $r_2=-5$

Logo, o módulo da soma das raízes é:

$\left|r_1+r_2\right|=\left|1+5\right|=\left|-1-5\right|=6$

Sendo $(a, b, 3, c)$ uma progressão aritmética de razão $r$, podemos reescrevê-la na forma

$(3-2r, 3-r, 3, 3+r)$.

Uma vez que a soma de seus elementos é igual a $8$, temos:

$\left(3-2r\right)+\left(3-r\right)+3+\left(3+r \right)= 8 \iff 12-2r=8 \iff r=2$

Resulta que a progressão aritmética é dada por $(-1, 1, 3, 5)$. Portanto, o produto dos elementos dessa progressão é

$\boxed{(-1)·1·3·5 = -15}$

Solução I

Podemos notar que:

$\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=a·b\\ f\left(3\right)=a·b^3\end{array}\right.$

Multiplicando ambas as equações, temos:

$f\left(1\right)·f\left(3\right)=a^2·b^4$

Como a e b são ambos positivos, então as imagens serão sempre positivas, bem como as raízes quadradas das imagens. Assim, extraindo a raiz quadrada em ambos os lados da equação, obtemos:

$\sqrt{f\left(1\right)·f\left(3\right)}=\sqrt{a^2·b^4}\Rightarrow \sqrt{f\left(1\right)·f\left(3\right)}=a·b^2=f\left(2\right)$

Solução II

A resolução desta questão poderia ser feita por inspeção de alternativas. Procuramos aquela cujo resultado seja igual a $f\left(2\right)=a·b^2$. Temos:

a) Correta:

$\sqrt{f\left(1\right)·f\left(3\right)} = \sqrt{\left(a·b^1\right)·\left(a·b^3\right)} = \sqrt{a^2·b^4} = a·b^2$

b) Incorreta: 

$\frac{f\left(3\right)}{f\left(0\right)} = \frac{a·b^3}{a·b^0} = b^3$

c) Incorreta:

$f\left(0\right)·f\left(1\right) = (a·b^0)·(a·b^1) = a^2·b$

d) Incorreta:

${\left(f\left(0\right)\right)}^3 = {\left(a·b^0\right)}^3 = a^3$

Lembrando que para encontrarmos a matriz transposta de A, devemos trocar de posição suas linhas com suas colunas, então:

$A^T=\left[\begin{array}{cc}p& 0\\ 2& p\end{array}\right]\Rightarrow A+A^T=\left[\begin{array}{cc}2p& 2\\ 2& 2p\end{array}\right]$

Como dito no enunciado  $A+A^T$ é singular e para uma matriz ser singular (não inversível) seu determinante deve ser nulo. Assim:

$det\left(A+A^T\right)=0\Rightarrow \left|\begin{array}{cc}2p& 2\\ 2& 2p\end{array}\right|=0\Rightarrow 4p^2-4=0\Rightarrow 4·\left(p^2-1\right)=0\Rightarrow p^2=1\Rightarrow \boxed{\left|p\right|=1}$

Admitindo como $x$ a medida dos lados congruentes, temos a seguinte figura:

Como $\overline{AD}$ é altura, logo, o ângulo $A\hat{D}B$ é reto, então, podemos relacionar $h$ com $\overline{BA}$ e com o ângulo de 30° utilzando a razão trigonométrica seno, logo:

$\mathrm{sen}30°=\frac{h}{x}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{h}{x}\Rightarrow x=2h$

Buscamos a área do triângulo ABC. Note que temos os dois lados e o ângulo entre eles, logo:

$A_{ABC}=\frac{1}{2}·2h·2h·\mathrm{sen}30°=2h^2·\frac{1}{2}=h^2$