Questão 38 Unicamp 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 38

Função Exponencial

Tendo em vista que $a$ e $b$ são números reais positivos, $a \neq b$ , considere a função $f (x) = a b^{x}$ , definida para todo número real x. Logo, $f (2)$ é igual a

a)	$\sqrt{f (1) \cdot f (3)}$
b)	$\frac{f (3)}{f (0)}$
c)	$f (0) \cdot f (1)$
d)	$f {(0)}^{3}$

Resolução

Solução I

Podemos notar que:

$\{\begin{cases} f (1) = a \cdot b \\ f (3) = a \cdot b^{3} \end{cases}$

Multiplicando ambas as equações, temos:

$f (1) \cdot f (3) = a^{2} \cdot b^{4}$

Como a e b são ambos positivos, então as imagens serão sempre positivas, bem como as raízes quadradas das imagens. Assim, extraindo a raiz quadrada em ambos os lados da equação, obtemos:

$\sqrt{f (1) \cdot f (3)} = \sqrt{a^{2} \cdot b^{4}} \Rightarrow \sqrt{f (1) \cdot f (3)} = a \cdot b^{2} = f (2)$

Solução II

A resolução desta questão poderia ser feita por inspeção de alternativas. Procuramos aquela cujo resultado seja igual a $f (2) = a \cdot b^{2}$ . Temos:

a) Correta:

$\sqrt{f (1) \cdot f (3)} = \sqrt{(a \cdot b^{1}) \cdot (a \cdot b^{3})} = \sqrt{a^{2} \cdot b^{4}} = a \cdot b^{2}$

b) Incorreta:

$\frac{f (3)}{f (0)} = \frac{a \cdot b^{3}}{a \cdot b^{0}} = b^{3}$

c) Incorreta:

$f (0) \cdot f (1) = (a \cdot b^{0}) \cdot (a \cdot b^{1}) = a^{2} \cdot b$

d) Incorreta:

${(f (0))}^{3} = {(a \cdot b^{0})}^{3} = a^{3}$