Questão 39 Unicamp 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 39

Matriz Inversa

Sabendo que p é um número real, considere a matriz $A = [\begin{matrix} p & 2 \\ 0 & p \end{matrix}]$ e sua transposta $A^{T}$ . Se $A + A^{T}$ é singular (não invertível), então

a)	$p = 0$
b)	$\|p\| = 1$
c)	$\|p\| = 2$
d)	$p = 3$

Resolução

Lembrando que para encontrarmos a matriz transposta de A, devemos trocar de posição suas linhas com suas colunas, então:

$A^{T} = [\begin{matrix} p & 0 \\ 2 & p \end{matrix}] \Rightarrow A + A^{T} = [\begin{matrix} 2 p & 2 \\ 2 & 2 p \end{matrix}]$

Como dito no enunciado $A + A^{T}$ é singular e para uma matriz ser singular (não inversível) seu determinante deve ser nulo. Assim:

$d e t (A + A^{T}) = 0 \Rightarrow |\begin{matrix} 2 p & 2 \\ 2 & 2 p \end{matrix}| = 0 \Rightarrow 4 p^{2} - 4 = 0 \Rightarrow 4 \cdot (p^{2} - 1) = 0 \Rightarrow p^{2} = 1 \Rightarrow |p| = 1$