Questão 34 Unicamp 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 34

Probabilidade

Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de $\frac{2}{3}$ , independentemente do resultado das outras provas. Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a

a)	$\frac{2}{3}$
b)	$\frac{4}{9}$
c)	$\frac{20}{27}$
d)	$\frac{16}{81}$

Resolução

Como a probabilidade de o atleta ganhar a prova é de $\frac{2}{3}$ , então a probabilidade de perder é dada por:

$P (p e r d e r) = 1 - P (g a n h a r) = 1 - \frac{2}{3} \Rightarrow P (p e r d e r) = \frac{1}{3}$

Assim, para calcular a probabilidade de o atleta vencer o torneio, temos que considerar dois casos:

(1) o atleta ganha exatamente duas partidas:

$P_{1} = \overset{G}{\overset{⏞}{\frac{2}{3}}} \cdot \overset{G}{\overset{⏞}{\frac{2}{3}}} \cdot \overset{P}{\overset{⏞}{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3!}{2!} = \frac{4}{27} \cdot \frac{3!}{2!} \Rightarrow P_{1} = \frac{12}{27}$

Importante ressaltar que é preciso fazer a permutação das letras G, G e P (permutação com repetição, no caso) para calcular o total de casos em que o atleta ganha exatamente duas partidas, uma vez que não sabemos qual das partidas ele vai perder.

(2) o atleta ganha as três partidas:

$P_{1} = \overset{G}{\overset{⏞}{\frac{2}{3}}} \cdot \overset{G}{\overset{⏞}{\frac{2}{3}}} \cdot \overset{G}{\overset{⏞}{\frac{2}{3}}} = \frac{8}{27} \Rightarrow P_{2} = \frac{8}{27}$

Logo, a probabilidade de o atleta vencer o torneio é:

$P = P_{1} + P_{2} = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} \Rightarrow P = \frac{20}{27}$