Questão 33 Unicamp 2020 - 1ª fase

Para calcular o total de posições distintas para as cinco pessoas serem fotografadas, podemos calcular:

(1) o total de possibilidades (sem restrição alguma) da troca de ordem de todas as cinco pessoas:

$T=P_5=5!=120 possibilidades$

(2) a restrição, que acontece quando as duas pessoas se recusam a ficar lado a lado. Para isso, temos o seguinte esquema:

$\underline{ \boxed{\underline{ }. \underline{ }} } . \underline{ } . \underline{ } . \underline{ }$

Assim, temos duas permutações: a interna (dentro do retângulo) e a externa (quantidade de $\underline{ }$). Daí: 

    i. permutação interna: $P_2=2!=2$

    ii. permutação externa: $P_4=4!=24$

Logo, o total de possibilidades da restrição é dado por:

$R=2!·4!=2·24\Rightarrow R=48 possibilidades$

Assim, concluímos que o total de possibilidades das cinco pessoas serem fotografadas juntas é de:

$t=T-R=120-48\Rightarrow \boxed{t=72 possibilidades}$