Unicamp 2020 - 1ª fase

Considere a figura com as suas marcações:

Sabendo que o triângulo $ABM$ é retângulo e isósceles, podemos concluir que $\alpha =45°$. Daí, aplicando trigonometria no triângulo $ABC$, encontramos:

$\mathrm{tg}\left(\alpha +\theta \right)=\frac{2a}{a}\Rightarrow \mathrm{tg}\left(45°+\theta \right)=2$

Aplicando a soma de arcos da tangente, segue que:

$\mathrm{tg}\left(45°+\theta \right)=\frac{\mathrm{tg}45°+\mathrm{tg}\theta }{1-\mathrm{tg}45°·\mathrm{tg}\theta }=\frac{1+\mathrm{tg}\theta }{1-\mathrm{tg}\theta }=2\Rightarrow$

$1+\mathrm{tg}\theta =2-2·\mathrm{tg}\theta \Rightarrow 3\mathrm{tg}\theta =1\Rightarrow \boxed{\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{3}}$

Veja que o ponto $B$ pertence ao eixo Oy. Desse modo, podemos escrever:

$B=\left(0, y_B\right)$

Daí, como o gráfico passa por $B$:

$y_B=f\left(0\right)\Rightarrow y_B=0^3-0^2-2·0+1\Rightarrow y_B=1$

Como todos possuem a mesma ordenada, temos que $y_A=y_C=1$.

Desse modo, precisamos encontrar os valores das abscissas de $A$ e de $C$ de modo que $y=f\left(x\right)=1$. Assim:

$f\left(x\right)=1\Rightarrow x^3-x^2-2x+1=1\Rightarrow x^3-x^2-2x=0$

Fatorando a equação, temos:

$x·\left(x^2-x-2\right)=0$

Para que o produto seja nulo temos que pelo menos um dos fatores seja nulo:

(1) $x=0$.

(2) $x^2-x-2=0\Rightarrow x=2 ou x=-1$

Desse modo, temos que $x_A=-1$, $x_B=0$ e $x_C=2$.

Logo, a distância de $A$ até $C$ é:

$AC=d_{A,C}=\left|x_A-x_C\right|=\left|-1-2\right|\Rightarrow \boxed{AC=3}$

Para encontrar o centro da circunferência, podemos transformar a equação geral em reduzida a partir do completamento de quadrados:

$x^2+y^2-2cx=0\Rightarrow \underset{{\left(x-c\right)}^2}{\underbrace{x^2-2cx+c^2}}+y^2=c^2\Rightarrow {\left(x-c\right)}^2+y^2=c^2$

Daí, concluímos que o centro é dado por  $C=\left(c, 0\right)$ e o raio é dado por $R=c$.

Sabendo que $C$ pertence à reta, então as coordenadas de $C$ satisfazem a equação da reta. Daí:

$c+2·0=3\Rightarrow c=3$

Como $R=c$, então $\boxed{R=3}$.

Sejam $l$ e $a$, respectivamente, os comprimentos das arestas do tetraedro regular e do cubo.

A área de superfície do tetraedro regular é igual a

$A_{Tetraedo} = 4·\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=l^2\sqrt{3}$

Já a área de superfície do cubo é

$A_{Cubo} = 6a^2$

Sabendo que $A_{Tetraedro} = A_{Cubo}$, temos:

$l^2\sqrt{3} = 6a^2 \iff \frac{l^2}{a^2} = \frac{6}{\sqrt{3}} \iff {\left(\frac{l}{a}\right)}^2= 2·\sqrt{3}\Rightarrow \boxed{ \frac{l}{a} = \sqrt{2}·\sqrt[4]{3}}$

O chumbo mudará de estado físico duas vezes com temperatura constante ao longo do histórico de temperatura, na fusão e na solidificação, e ambas acontecem na mesma temperatura: 327,5 °C. A ebulição, que também acontece com temperatura constante de 1750 °C, não seria atingida pelo incêndio (que atingiu 800 °C). Assim, o gráfico que tem o histórico com duas temperaturas constantes no aquecimento e no resfriamento em valores idênticos é o da alternativa D.

O potencial de contaminação estaria associado à evaporação do chumbo em alta temperatura, já que a temperatura mais alta no incêndio (800 °C) não é o suficiente para que o chumbo entre em ebulição, uma vez que a temperatura de ebulição é 1750 °C.

O "Ebulidor de Franklin" consiste em um sistema fechado que contém um líquido em equilíbrio dinâmico com seu vapor. Durante o uso do brinquedo, o líquido é aquecido e, de acordo com o gráfico do enunciado, a elevação da temperatura causa um aumento da pressão de vapor e, consequentemente, a pressão interna do brinquedo aumenta.

O líquido mais adequado para o brinquedo deve ter uma alta pressão de vapor, pois é o vapor que empurra o líquido para cima. Observa-se que o líquido A tem maior pressão de vapor do que o líquido B para diferentes temperaturas, ou seja, o líquido A é o mais adequado para ser utilizado no “Ebulidor de Franklin”.

No termômetro de Galileu, o líquido que proporcionaria um termômetro mais sensível é aquele que variaria mais a densidade em função da temperatura e, pelo gráfico apresentado, o etanol apresenta uma variação de densidade maior que a da água. Logo, o etanol proporcionaria um termômetro mais sensível.

No registro de temperatura, a bola de vidro que se encontra mais abaixo na parte de cima do tubo desce primeiro com o aumento da temperatura e diminuição da densidade do líquido. Já a bola de vidro que se encontra mais acima na parte de baixo do tubo sobe primeiro com a diminuição da temperatura e aumento da densidade do líquido. Portanto, ou a bola de vidro que está mais abaixo entre as que se encontram na parte de cima do tubo ou a bola que está mais acima entre as que se encontram na parte de baixo do tubo são as mais indicadas para a leitura da temperatura.

A incrustação baseada em sílica, por ter menor condutividade térmica, é menos eficiente na transmissão do calor e, para manter uma eficiência constante da caldeira, ocorre um maior consumo de combustível. A curva A é a que apresenta maior consumo de combustível à medida em que a incrustação vai aumentando, portanto, é a curva referente à incrustação com base de sílica. Já a curva B é a inscrustação com base de carbonato, a qual apresenta condutividade térmica intermediária (maior que a da sílica e menor que a do carbonato) e o incremento do consumo de combustível é menor que a incrustação com base de sílica.

Pelo enunciado, o cliente afirma que a noite esta fria, com isso, devido à redução de temperatura, houve uma contração do volume do gás dentro do balão e por isso ele murchou. Quando a temperatura aumentar, o gás irá se expandir voltando ao volume original.

Isso pode ser verificado, pois, considerando a pressão aproximadamente constante, temos que  $\frac{V}{T}=constante$. Ou seja, o volume do gás e a temperatura são grandezas diretamente proporcionais. Assim, ao sair da loja, a temperatura do gás diminui, pois a noite está fria, consequentemente seu volume diminuirá. Ao voltar à loja, por estar mais quente, o gás volta a ter a temperatura elevada e, por consequência, seu volume volta a expandir.

A dose máxima para uma criança de 11 anos, ou seja, abaixo de 12 anos é 15 mg/kg/dose. Como a criança tem 40 kg, temos:

$$\begin{gathered} 15 mg/dose — 1 kg \\ x — 40 kg \end{gathered}$$

$x=40·15=\boxed{600 mg/dose}$

Como um comprimido apresenta 750 mg e não pode ser partido, a criança não poderia tomá-lo dessa forma. Já a suspensão oral apresenta 100 mg/mL, sendo possível determinar o volume máxima de suspensão que poderia ser ingerido:

$$\begin{gathered} 100 mg — 1 mL \\ 600 mg — y \end{gathered}$$

$y = \frac{600}{100}=\boxed{6 mL}$