Questão 43 Unicamp 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 43

Estudo Analítico da Circunferência

Sabendo que 𝑐 é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação $x^{2} + y^{2} = 2 c x$ . Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação $x + 2 y = 3$ , então seu raio é igual a

a)	$\sqrt{2}$ .
b)	$\sqrt{3}$ .
c)	2.
d)	3.

Resolução

Para encontrar o centro da circunferência, podemos transformar a equação geral em reduzida a partir do completamento de quadrados:

$x^{2} + y^{2} - 2 c x = 0 \Rightarrow \underset{{(x - c)}^{2}}{\underset{⏟}{x^{2} - 2 c x + c^{2}}} + y^{2} = c^{2} \Rightarrow {(x - c)}^{2} + y^{2} = c^{2}$

Daí, concluímos que o centro é dado por $C = (c, 0)$ e o raio é dado por $R = c$ .

Sabendo que $C$ pertence à reta, então as coordenadas de $C$ satisfazem a equação da reta. Daí:

$c + 2 \cdot 0 = 3 \Rightarrow c = 3$

Como $R = c$ , então $R = 3$ .