Questão 44 Unicamp 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 44

Cubo Pirâmides

Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a

a)	$\sqrt{2} \sqrt{3}$ .
b)	$\sqrt[4]{2} \sqrt{3}$
c)	$\sqrt{2} \sqrt[4]{3}$
d)	$\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{3}$

Resolução

Sejam $l$ e $a$ , respectivamente, os comprimentos das arestas do tetraedro regular e do cubo.

A área de superfície do tetraedro regular é igual a

$A_{T e t r a e d o} = 4 \cdot \frac{l^{2} \sqrt{3}}{4} = l^{2} \sqrt{3}$

Já a área de superfície do cubo é

$A_{C u b o} = 6 a^{2}$

Sabendo que $A_{T e t r a e d r o} = A_{C u b o}$ , temos:

$l^{2} \sqrt{3} = 6 a^{2} \Leftrightarrow \frac{l^{2}}{a^{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow {(\frac{l}{a})}^{2} = 2 \cdot \sqrt{3} \Rightarrow \frac{l}{a} = \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{3}$