Questão 41 Unicamp 2020 - 1ª fase

Considere a figura com as suas marcações:

Sabendo que o triângulo $ABM$ é retângulo e isósceles, podemos concluir que $\alpha =45°$. Daí, aplicando trigonometria no triângulo $ABC$, encontramos:

$\mathrm{tg}\left(\alpha +\theta \right)=\frac{2a}{a}\Rightarrow \mathrm{tg}\left(45°+\theta \right)=2$

Aplicando a soma de arcos da tangente, segue que:

$\mathrm{tg}\left(45°+\theta \right)=\frac{\mathrm{tg}45°+\mathrm{tg}\theta }{1-\mathrm{tg}45°·\mathrm{tg}\theta }=\frac{1+\mathrm{tg}\theta }{1-\mathrm{tg}\theta }=2\Rightarrow$

$1+\mathrm{tg}\theta =2-2·\mathrm{tg}\theta \Rightarrow 3\mathrm{tg}\theta =1\Rightarrow \boxed{\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{3}}$