Questão 42 Unicamp 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 42

Função Polinomial de Grau Maior que 2 Polinômio

Seja a função polinomial do terceiro grau $f (x) = x ³ - x ² - 2 x + 1$ , definida para todo número real 𝑥. A figura abaixo exibe o gráfico de $y = f (x)$ , no plano cartesiano, em que os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 têm a mesma ordenada. A distância entre os pontos 𝐴 e 𝐶 é igual a

a)	2.
b)	$2 \sqrt{2}$
c)	3.
d)	$3 \sqrt{2}$

Resolução

Veja que o ponto $B$ pertence ao eixo Oy. Desse modo, podemos escrever:

$B = (0, y_{B})$

Daí, como o gráfico passa por $B$ :

$y_{B} = f (0) \Rightarrow y_{B} = 0^{3} - 0^{2} - 2 \cdot 0 + 1 \Rightarrow y_{B} = 1$

Como todos possuem a mesma ordenada, temos que $y_{A} = y_{C} = 1$ .

Desse modo, precisamos encontrar os valores das abscissas de $A$ e de $C$ de modo que $y = f (x) = 1$ . Assim:

$f (x) = 1 \Rightarrow x^{3} - x^{2} - 2 x + 1 = 1 \Rightarrow x^{3} - x^{2} - 2 x = 0$

Fatorando a equação, temos:

$x \cdot (x^{2} - x - 2) = 0$

Para que o produto seja nulo temos que pelo menos um dos fatores seja nulo:

(1) $x = 0$ .

(2) $x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 o u x = - 1$

Desse modo, temos que $x_{A} = - 1$ , $x_{B} = 0$ e $x_{C} = 2$ .

Logo, a distância de $A$ até $C$ é:

$A C = d_{A, C} = |x_{A} - x_{C}| = |- 1 - 2| \Rightarrow A C = 3$