Questão 36 Unicamp 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 36

Função Quadrática Inteiros (Z)

Sabendo que $a$ é um número real, considere a equação quadrática $2 x^{2} + a x + 10 = 0$ . Se as soluções dessa equação são números inteiros, o módulo da soma das soluções é igual a

a)	3
b)	4
c)	5
d)	6

Resolução

Seja a equação quadrática $2 x^{2} + a x + 10 = 0$ , com raízes $r_{1}$ e $r_{2}$ .

Por hipótese, as raízes dessa equação são números inteiros, então, pelas relações de Girard (soma e produto), temos que o produto entre as raízes é dado por:

$r_{1} \cdot r_{2} = \frac{10}{2} \Leftrightarrow r_{1} \cdot r_{2} = 5$

Como 5 é um número primo temos duas possibilidades para as raízes inteiras:

(i) $r_{1} = 1$ e $r_{2} = 5$

(ii) $r_{1} = - 1$ e $r_{2} = - 5$

Logo, o módulo da soma das raízes é:

$|r_{1} + r_{2}| = |1 + 5| = |- 1 - 5| = 6$