Fuvest 2021 - 1ª fase

Questão 1 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Estudo Analítico do Ponto

A figura ilustra graficamente uma região de um bairro, com ruas ortogonais entre si. O ponto $X$ inidica um condomínio residencial, e o ponto $Y$ indica a entrada de um parque. Três moradores realizam caminhos diferentes para chegar ao ponto $Y$ , partindo do ponto $X$ , ilustrados com cores diferentes. Se $a$ , $b$ e $c$ representam as distâncias percorridas por esses moradores nesses caminhos, é correto afirmar que

a)	$a = b = c$ .
b)	$b = c < a$ .
c)	$c < b < a$ .
d)	$b < c = a$ .
e)	$c < a = b$ .

Resolução

Na malha quadriculada, veja que existem 10 quarteirões na horizontal e 8 quarteirões na vertical. Desse modo:

(1) MORADOR A: desloca 2 quarteirões para cima, 10 para a direita e 8 para baixo. Assim, a distância $a$ é dada por:

$a = 2 + 10 + 8 = 20 quarteirões$

(2) MORADOR B: desloca 4 quarteirões para a direita, 4 para baixo, 4 para a direita, 2 para baixo e 2 para a direita. Assim, a distância $b$ é dada por:

$b = 4 + 4 + 4 + 2 + 2 = 16 quarteirões$

(3) MORADOR C: desloca 6 quarteirões para baixo e 10 para a direita. Assim, a distância $c$ é dada por:

$c = 6 + 10 = 16 quarteirões$

Portanto, concluímos que:

$b = c < a$

Questão 2 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Conceitos iniciais de funções

Qual dos gráficos representa uma relação entre as grandezas $x$ e $y$ em que $y$ sempre diminui na medida em que $x$ aumenta?

a)
b)
c)
d)
e)

Resolução

Para que $y$ sempre diminua na medida em que $x$ aumenta, precisamos que a função seja estritamente decrescente, isto é, considerando as orientações de cada eixo, à medida que nos deslocamos da esquerda para a direta na horizontal, o gráfico vai sendo traçado de cima para baixo na vertical. Vamos analisar cada alternativa:

a) Incorreta. O gráfico lembra uma reta paralela ao eixo Ox, isto é: gráfico de uma função constante. Lembre-se que nas funções constantes, temos que $y = f (x)$ se mantém constante para qualquer valor $x$ do domínio.

b) Incorreta. A partir de um certo valor do domínio, a função se torna constante.

c) Incorreta. A partir de um certo valor, a função passa a ser estritamente crescente.

d) Incorreta. Em certos valores do domínio, a função é estritamente crescente.

e) Correta. Para quaisquer valores do domínio, temos que a função é estraitamente decrescente.

Questão 3 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Números Primos

O quadrinho aborda o tema de números primos, sobre os quais é correto afirmar:

a)	Todos os números primos são ímpares.
b)	Existem, no máximo, 7 trilhões de números primos.
c)	Todo número da forma $2^{n} + 1$ , $n \in ℕ$ , é primo.
d)	Entre 24 e 36, existem somente 2 números primos.
e)	O número do quadrinho, 143, é um número primo.

Resolução

Devemos recordar que um número $p \in ℤ$ é primo se, e somente se, possui apenas 4 divisores inteiros: $\pm 1$ e $\pm p$ . Deste modo, podemos julgar as alternativas que seguem.

a) Incorreta. O número 2, que é par, é um número primo, pois possui apenas $\pm 1$ e $\pm 2$ como seus divisores inteiros.

b) Incorreta. Pelo teorema de Euclides, há infinitos números primos. Vejamos a demonstração a seguir.

Vamos supor que $P = \{2, 3, 5, 7 . . ., p\}$ seja o conjunto de todos os números naturais primos e que ele seja finito. Tomemos, também, o número $m \in ℕ$ tal que $m = (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 . . . \cdot p) + 1$ .

Note que $m$ não é divisível por nenhum dos fatores primos listados em $P$ , pois todas as divisões por cada um dos números primos listados tem resto igual a 1. Assim, há duas possibilidades:

I. $m$ é um número primo.

II. $m$ é um número composto formado por números primos não listados em $P$ .

Logo, nossa suposição está incorreta, assim, há infinitos números primos.

c) Incorreta. Basta que encontremos um contra exemplo para mostrar que esta afirmativa é incorreta. Por exemplo:

Para $n = 3$ , temos $2^{n} + 1 = 2^{3} + 1 = 9$ , que não é um número primo.

d) Correta. Entre os números 24 e 36, temos os seguintes números já decompostos em fatores primos.

$25 = 5^{2} 26 = 2 \cdot 13 27 = 3^{3} 28 = 2^{2} \cdot 7 29 = 29 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 31 = 31 32 = 2^{5} 33 = 3 \cdot 11 34 = 2 \cdot 17 35 = 5 \cdot 7$

Logo, apenas o 29 e o 31 são números primos.

e) Incorreta. Decompondo o número 143 em fatores primos, temos $143 = 11 \cdot 13$ .

Questão 4 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Área do Triangulo Áreas de quadriláteros

Três triângulos equiláteros e dois quadrados formam uma figura plana, como ilustrado. Seus centros são vértices de um pentágono irregular, que está destacado na figura. Se $T$ é a área de cada um dos triângulos e $Q$ a área de cada um dos quadrados, a área desse pentágono é

a)	$T + Q$ .
b)	$\frac{1}{2} T + \frac{1}{2} Q$ .
c)	$T + \frac{1}{2} Q$ .
d)	$\frac{1}{3} T + \frac{1}{4} Q$ .
e)	$\frac{1}{3} T + \frac{1}{2} Q$ .

Resolução

Como os 2 quadrados maiores possuem lados em comum aos triângulos equiláteros, então, podemos observar que tanto os quadradrados, quantos os triângulos, possuem lados de mesma medida. Tomaremos, então, a medida dos lados dos quadrados e dos triângulos como sendo $x$ .

Observe a figura a seguir:

Como $D$ é o centro do quadrado maior, então o quadrado menor tem seus lados medindo $\frac{x}{2}$ e, portanto, área $S_{q} = {(\frac{x}{2})}^{2} = \frac{x^{2}}{4} = \frac{Q}{4}$ .

Como $C$ é centro do triângulo $A B C$ , então $C$ é baricentro do mesmo (centro de gravidade), de modo que, a partir de $C$ , podemos dividir o triângulo equilátero em 6 pequenos triângulos congruentes ao triângulo $A B C$ , conforme figura abaixo:

$T = 6 \cdot S_{A B C}$

Podemos notar, também, que a área do pentágono que buscamos é a soma das áreas de dois quadrados congruentes ao quadrado $A B D E$ mais 6 triângulos congruentes ao triângulo $A B C$ .

Portanto, temos que a área do pentágono é:

$S_{p} = 6 \cdot S_{A B C} + 2 \cdot S_{q} \Leftrightarrow S_{p} = T + 2 \cdot \frac{Q}{4} \Leftrightarrow S_{P} = T + \frac{Q}{2}$

Questão 5 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Porcentagem

Um comerciante adotou como forma de pagamento uma máquina de cartões, cuja operadora cobra uma taxa de 6% em cada venda. Para continuar recebendo exatamente o mesmo valor por cada produto, ele resolveu aplicar um reajuste nos preços de todos os produtos da loja. Se P era o valor de uma mercadoria antes da adoção da máquina, o novo valor V deve ser calculado por

a)	$V = P + 0, 06$
b)	$V = 0, 94 \cdot 1, 06 \cdot P$
c)	$V = 1, 6 \cdot P$
d)	$V = \frac{P}{0, 94}$
e)	$V = 0, 94 \cdot P$

Resolução

Sendo $V$ o preço de venda do produto e $P$ o preço original da mercadoria, temos:

$\underset{p r e ç o d e v e n d a}{\underset{⏟}{V}} - \underset{t a x a d a o p e r a d o r a}{\underset{⏟}{6 % d e V}} = \underset{p r e ç o o r i g i n a l}{\underset{⏟}{P}}$

Desse modo, concluímos que:

$V - 0, 06 V = P \Leftrightarrow V = \frac{P}{0, 94}$

Questão 6 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Sistemas Lineares

Uma treinadora de basquete aplica o seguinte sistema de pontuação em seus treinos de arremesso à cesta: cada jogadora recebe 5 pontos por arremesso acertado e perde 2 pontos por arremesso errado. Ao fim de 50 arremessos, uma das jogadoras contabilizou 124 pontos. Qual é a diferença entre as quantidades de arremessos acertados e errados dessa jogadora?

a)	12
b)	14
c)	16
d)	18
e)	20

Resolução

Sendo $x$ o número de acertos e $y$ o número de erros, temos:

(1) quantidade total de arremessos:

$x + y = 50 \Rightarrow y = 50 - x$

(2) quantidade total de pontos:

Sabendo que se ganha 5 pontos quando acerta e se perde 2 pontos quando erra, temos:

$5 x - 2 y = 124$

Daí, substituindo (1) em (2), encontramos:

$5 x - 2 \cdot (50 - x) = 124 \Rightarrow x = 32$

Portanto, são 32 acertos e 18 erros. Assim, a diferença entre as quantidades é dada por 14.

Questão 7 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

MDC Paralelepípedo

Alice quer construir um paralelepípedo reto retângulo de dimensões $60 cm \times 24 cm \times 18 cm$ , com a menor quantidade possível de cubos idênticos cujas medidas das arestas são números naturais. Quantos cubos serão necessários para construir esse paralelepípedo?

a)	60
b)	72
c)	80
d)	96
e)	120

Resolução

Sabendo que todas as arestas de um cubo devem ter uma mesma medida $a$ , temos as seguintes propriedades para constuir esse paralelepípedo com cubos:

(1ª propriedade): a medida da aresta $a$ é um número natural;

(2ª propriedade): a medida da aresta precisa ser divisor das dimensões do paralelepípedo. Em outras palavras: $a$ divide 60, 24 e 18.

(3ª propriedade): esse paralelepípedo precisa ter a menor quantidade possível de cubos. Essa informação implica em: mínima quantidade de cubos, máxima medida da aresta $a$ do cubo.

Assim, concluímos que $a$ é o maior divisor comum de 60, 24 e 18, ou seja, $a = mdc (60, 24, 18)$ . Desse modo, fatorando as dimensões do paralelepípedo:

(1) $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

(2) $24 = 2^{3} \cdot 3$

(3) $18 = 2 \cdot 3^{2}$

Sabendo que o mdc é calculado utilizando-se os menores expoentes dos primos presentes nessas decomposições, segue que:

$a = mdc (60, 24, 18) = 2^{1} \cdot 3^{1} \cdot 5^{0} \Rightarrow a = 6 cm$

Assim, a quantidade de cubos que cabem:

(1) no comprimento: $\frac{60}{6} = 10 cubos$

(2) na largura: $\frac{24}{6} = 4 cubos$

(3) na altura: $\frac{18}{6} = 3 cubos$

Portanto, o total $t$ de cubos é dado por:

$t = 10 \cdot 4 \cdot 3 = 120 cubos$

Questão 8 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Função Logarítmica Arranjo Simples e com Repetição

Um aplicativo de videoconferências estabelece, para cada reunião, um código de 10 letras, usando um alfabeto completo de 26 letras. A quantidade de códigos distintos possíveis está entre

Note e adote:

$\log_{10} 13 ≅ 1, 114 1 bilhão = 10^{9}$

a)	10 bilhões e 100 bilhões.
b)	100 bilhões e 1 trilhão.
c)	1 trilhão e.10 trilhões.
d)	10 trilhões e .100 trilhões.
e)	100 trilhões e .1 quatrilhão.

Resolução

Como temos 26 possibilidades para cada uma das 10 letras do código, podendo haver repetição, então o total ( $N$ ) de códigos distintos é dada por:

$N = \underset{1 ª letra}{\underset{⏟}{26}} \cdot \underset{2 ª letra}{\underset{⏟}{26}} \cdot \dots \cdot \underset{10 ª letra}{\underset{⏟}{26}} = 26^{10} = {(2 \cdot 13)}^{10} = 2^{10} \cdot 13^{10}$

Pelas alternativas, devemos encaixar esse número entre potências de base 10, com expoente inteiro, consecutivas. Para tanto, observe que:

$\{\begin{cases} 2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^{3} \\ \log_{10} 13 \approx 1, 114 \Leftrightarrow 13 \approx 10^{1, 114} \end{cases}$

Assim:

$N = 2^{10} \cdot 13^{10} \approx 10^{3} \cdot {(10^{1, 114})}^{10} = 10^{3 + 11, 14} = 10^{14, 14}$

Em relação às potências de base 10 de expoente inteiro que estão próximas a esse número, observamos que:

$10^{12}$ : trilhão;
$10^{13} = 10 \cdot 10^{12}$ : dezena de trilhão;
$10^{14} = 10^{2} \cdot 10^{12}$ : centena de trilhão;
$10^{15}$ : quatrilhão.

Sendo $10^{14} < N \approx 10^{14, 14} < 10^{15}$ , concluímos que $N$ está entre 100 trilhões e 1 quatrilhão.

Questão 9 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Triângulo Teorema de Pitágoras

Na figura, os segmentos $A C$ e $D E$ são paralelos entre si e perpendiculares ao segmento $C D$ ; o ponto $B$ pertence ao segmento $A C$ ; $F$ é o ponto médio do segmento $A B$ ; $A B E$ é um triângulo equilátero. Além disso, o segmento $B C$ mede 10 unidades de comprimento e o segmento $A E$ mede 6 unidades de comprimento. A medida do segmento $D F$ , em unidades de comprimento, é igual a

a)	14.
b)	15.
c)	16.
d)	17.
e)	18.

Resolução

Podemos notar inicialmente que, sendo o triângulo $A B E$ equilátero, se $F$ é o ponto médio de $A B$ , então , $F B = 3$ e, por consequência, $F C = 3 + 10 = 13$ . Além disso, traçando a altura relativa ao lado $A B$ do triângulo, temos a seguinte situação:

Obseve que ao traçarmos a altura $\bar{E F}$ do triângulo equilátero $A B E$ , formamos um retângulo $C D E F$ , assim,

$C D = E F = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$

Por fim, pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $C D F$ , temos:

$D F^{2} = C D^{2} + F C^{2} \Leftrightarrow D F^{2} = {(3 \sqrt{3})}^{2} + 13^{2} \Leftrightarrow D F^{2} = 27 + 169 \Leftrightarrow$

$D F^{2} = 196 \Rightarrow D F = 14$

Questão 10 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Inequação Geral do Segundo Grau Inequação com duas variáveis

A região hachurada do plano cartesiano $x O y$ contida no círculo de centro na origem $O$ e raio 1, mostrada na figura, pode ser descrita por

Note e adote:
O círculo de centro O e raio 1 é o conjunto de todos os pontos do plano que estão a uma distância de O menor do que ou igual a 1.

a)	$\{(x, y); x^{2} + y^{2} \leq 1 e y - x \leq 1\}$ .
b)	${(x, y); x^{2} + y^{2} \geq 1 e y + x \geq 1} .$
c)	${(x, y); x^{2} + y^{2} \leq 1 e y - x \geq 1} .$
d)	${(x, y); x^{2} + y^{2} \leq 1 e y + x \geq 1} .$
e)	${(x, y); x^{2} + y^{2} \geq 1 e y + x \leq 1} .$

Resolução

Sabendo que a região hachurada é a interseção de duas regiões, podemos encontrar suas inequações por partes:

(1) CÍRCULO:

Veja que o círculo é centrado na origem, possui raio 1 e a região hachurada é interna $(\leq)$ . Desse modo:

${(x - 0)}^{2} + {(y - 0)}^{2} \leq 1^{2} \Rightarrow x^{2} + y^{2} \leq 1$

(2) SEMIPLANO:

Veja a figura:

Calculando a equação da reta que passa por A e B, temos:

- coeficiente angular: $m = \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{1 - 0}{0 - (- 1)} = 1$

- equação da reta: $y - y_{B} = m \cdot (x - x_{B}) \Rightarrow y - 1 = 1 \cdot (x - 0) \Rightarrow y = x + 1$

Como o semiplano é acima da reta (incluindo os pontos que pertencem a reta), temos:

$y \geq x + 1 \Rightarrow y - x \geq 1$

Portanto, a região hachurada é dada por:

$\{(x, y); x^{2} + y^{2} \leq 1 e y - x \geq 1\}$