Questão 10 Fuvest 2021 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 10

Inequação Geral do Segundo Grau Inequação com duas variáveis

A região hachurada do plano cartesiano $x O y$ contida no círculo de centro na origem $O$ e raio 1, mostrada na figura, pode ser descrita por

Note e adote:
O círculo de centro O e raio 1 é o conjunto de todos os pontos do plano que estão a uma distância de O menor do que ou igual a 1.

Resolução

Sabendo que a região hachurada é a interseção de duas regiões, podemos encontrar suas inequações por partes:

(1) CÍRCULO:

Veja que o círculo é centrado na origem, possui raio 1 e a região hachurada é interna $(\leq)$ . Desse modo:

${(x - 0)}^{2} + {(y - 0)}^{2} \leq 1^{2} \Rightarrow x^{2} + y^{2} \leq 1$

(2) SEMIPLANO:

Veja a figura:

Calculando a equação da reta que passa por A e B, temos:

- coeficiente angular: $m = \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{1 - 0}{0 - (- 1)} = 1$

- equação da reta: $y - y_{B} = m \cdot (x - x_{B}) \Rightarrow y - 1 = 1 \cdot (x - 0) \Rightarrow y = x + 1$

Como o semiplano é acima da reta (incluindo os pontos que pertencem a reta), temos:

$y \geq x + 1 \Rightarrow y - x \geq 1$

Portanto, a região hachurada é dada por:

$\{(x, y); x^{2} + y^{2} \leq 1 e y - x \geq 1\}$