Questão 4 Fuvest 2021 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Área do Triangulo Áreas de quadriláteros

Três triângulos equiláteros e dois quadrados formam uma figura plana, como ilustrado. Seus centros são vértices de um pentágono irregular, que está destacado na figura. Se $T$ é a área de cada um dos triângulos e $Q$ a área de cada um dos quadrados, a área desse pentágono é

a)	$T + Q$ .
b)	$\frac{1}{2} T + \frac{1}{2} Q$ .
c)	$T + \frac{1}{2} Q$ .
d)	$\frac{1}{3} T + \frac{1}{4} Q$ .
e)	$\frac{1}{3} T + \frac{1}{2} Q$ .

Resolução

Como os 2 quadrados maiores possuem lados em comum aos triângulos equiláteros, então, podemos observar que tanto os quadradrados, quantos os triângulos, possuem lados de mesma medida. Tomaremos, então, a medida dos lados dos quadrados e dos triângulos como sendo $x$ .

Observe a figura a seguir:

Como $D$ é o centro do quadrado maior, então o quadrado menor tem seus lados medindo $\frac{x}{2}$ e, portanto, área $S_{q} = {(\frac{x}{2})}^{2} = \frac{x^{2}}{4} = \frac{Q}{4}$ .

Como $C$ é centro do triângulo $A B C$ , então $C$ é baricentro do mesmo (centro de gravidade), de modo que, a partir de $C$ , podemos dividir o triângulo equilátero em 6 pequenos triângulos congruentes ao triângulo $A B C$ , conforme figura abaixo:

$T = 6 \cdot S_{A B C}$

Podemos notar, também, que a área do pentágono que buscamos é a soma das áreas de dois quadrados congruentes ao quadrado $A B D E$ mais 6 triângulos congruentes ao triângulo $A B C$ .

Portanto, temos que a área do pentágono é:

$S_{p} = 6 \cdot S_{A B C} + 2 \cdot S_{q} \Leftrightarrow S_{p} = T + 2 \cdot \frac{Q}{4} \Leftrightarrow S_{P} = T + \frac{Q}{2}$