Questão 8 Fuvest 2021 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 8

Função Logarítmica Arranjo Simples e com Repetição

Um aplicativo de videoconferências estabelece, para cada reunião, um código de 10 letras, usando um alfabeto completo de 26 letras. A quantidade de códigos distintos possíveis está entre

Note e adote:

$\log_{10} 13 ≅ 1, 114 1 bilhão = 10^{9}$

a)	10 bilhões e 100 bilhões.
b)	100 bilhões e 1 trilhão.
c)	1 trilhão e.10 trilhões.
d)	10 trilhões e .100 trilhões.
e)	100 trilhões e .1 quatrilhão.

Resolução

Como temos 26 possibilidades para cada uma das 10 letras do código, podendo haver repetição, então o total ( $N$ ) de códigos distintos é dada por:

$N = \underset{1 ª letra}{\underset{⏟}{26}} \cdot \underset{2 ª letra}{\underset{⏟}{26}} \cdot \dots \cdot \underset{10 ª letra}{\underset{⏟}{26}} = 26^{10} = {(2 \cdot 13)}^{10} = 2^{10} \cdot 13^{10}$

Pelas alternativas, devemos encaixar esse número entre potências de base 10, com expoente inteiro, consecutivas. Para tanto, observe que:

$\{\begin{cases} 2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^{3} \\ \log_{10} 13 \approx 1, 114 \Leftrightarrow 13 \approx 10^{1, 114} \end{cases}$

Assim:

$N = 2^{10} \cdot 13^{10} \approx 10^{3} \cdot {(10^{1, 114})}^{10} = 10^{3 + 11, 14} = 10^{14, 14}$

Em relação às potências de base 10 de expoente inteiro que estão próximas a esse número, observamos que:

$10^{12}$ : trilhão;
$10^{13} = 10 \cdot 10^{12}$ : dezena de trilhão;
$10^{14} = 10^{2} \cdot 10^{12}$ : centena de trilhão;
$10^{15}$ : quatrilhão.

Sendo $10^{14} < N \approx 10^{14, 14} < 10^{15}$ , concluímos que $N$ está entre 100 trilhões e 1 quatrilhão.