Questão 7 Fuvest 2021 - 1ª fase

Sabendo que todas as arestas de um cubo devem ter uma mesma medida $a$, temos as seguintes propriedades para constuir esse paralelepípedo com cubos:

(1ª propriedade): a medida da aresta $a$ é um número natural;

(2ª propriedade): a medida da aresta precisa ser divisor das dimensões do paralelepípedo. Em outras palavras: $a$ divide 60, 24 e 18.

(3ª propriedade): esse paralelepípedo precisa ter a menor quantidade possível de cubos. Essa informação implica em: mínima quantidade de cubos, máxima medida da aresta $a$ do cubo. 

Assim, concluímos que $a$ é o maior divisor comum de 60, 24 e 18, ou seja, $a=\mathrm{mdc}\left(60,24,18\right)$. Desse modo, fatorando as dimensões do paralelepípedo:

(1) $60=2^2·3·5$

(2) $24=2^3·3$

(3) $18=2·3^2$

Sabendo que o mdc é calculado utilizando-se os menores expoentes dos primos presentes  nessas decomposições, segue que:

$a=\text{mdc}\left(60, 24, 18\right)=2^1·3^1·5^0\Rightarrow a=6\text{ cm}$

Assim, a quantidade de cubos que cabem:

(1) no comprimento: $\frac{60}{6}=10\text{ cubos}$

(2) na largura: $\frac{24}{6}=4\text{ cubos}$

(3) na altura: $\frac{18}{6}=3\text{ cubos}$

Portanto, o total $t$ de cubos é dado por:

$t=10·4·3=\boxed{120\text{ cubos}}$