Questão 3 Fuvest 2021 - 1ª fase

Devemos recordar que um número $p\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ é primo se, e somente se, possui apenas 4 divisores inteiros: $\pm 1$ e $\pm p$. Deste modo, podemos julgar as alternativas que seguem.

a) Incorreta. O número 2, que é par, é um número primo, pois possui apenas $\pm 1$ e $\pm 2$ como seus divisores inteiros.

b) Incorreta. Pelo teorema de Euclides, há infinitos números primos. Vejamos a demonstração a seguir.

Vamos supor que $P=\left\{2,3,5,7...,p\right\}$  seja o conjunto de todos os números naturais primos e que ele seja finito. Tomemos, também, o número $m\in \mathrm{\mathbb{N}}$ tal que $m=\left(2·3·5·7...·p\right)+1$.

Note que  $m$ não é divisível por nenhum dos fatores primos listados em $P$, pois todas as divisões por cada um dos números primos listados tem resto igual a 1. Assim, há duas possibilidades:

I. $m$ é um número primo.

II.  $m$ é um número composto formado por números primos não listados em $P$.

Logo, nossa suposição está incorreta, assim, há infinitos números primos.

c) Incorreta. Basta que encontremos um contra exemplo para mostrar que esta afirmativa é incorreta. Por exemplo:

Para $n=3$, temos  $2^n+1=2^3+1=9$, que não é um número primo.

d) Correta. Entre os números 24 e 36, temos os seguintes números já decompostos em fatores primos.

$$\begin{gathered} 25=5^2 \\ 26=2·13 \\ 27=3^3 \\ 28=2^2·7 \\ 29=29 \\ 30=2·3·5 \\ 31=31 \\ 32=2^5 \\ 33=3·11 \\ 34=2·17 \\ 35=5·7 \end{gathered}$$

Logo, apenas o 29 e o 31 são números primos.

e) Incorreta. Decompondo o número 143 em fatores primos, temos $143=11·13$.