Questão 9 Fuvest 2021 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 9

Triângulo Teorema de Pitágoras

Na figura, os segmentos $A C$ e $D E$ são paralelos entre si e perpendiculares ao segmento $C D$ ; o ponto $B$ pertence ao segmento $A C$ ; $F$ é o ponto médio do segmento $A B$ ; $A B E$ é um triângulo equilátero. Além disso, o segmento $B C$ mede 10 unidades de comprimento e o segmento $A E$ mede 6 unidades de comprimento. A medida do segmento $D F$ , em unidades de comprimento, é igual a

a)	14.
b)	15.
c)	16.
d)	17.
e)	18.

Resolução

Podemos notar inicialmente que, sendo o triângulo $A B E$ equilátero, se $F$ é o ponto médio de $A B$ , então , $F B = 3$ e, por consequência, $F C = 3 + 10 = 13$ . Além disso, traçando a altura relativa ao lado $A B$ do triângulo, temos a seguinte situação:

Obseve que ao traçarmos a altura $\bar{E F}$ do triângulo equilátero $A B E$ , formamos um retângulo $C D E F$ , assim,

$C D = E F = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$

Por fim, pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $C D F$ , temos:

$D F^{2} = C D^{2} + F C^{2} \Leftrightarrow D F^{2} = {(3 \sqrt{3})}^{2} + 13^{2} \Leftrightarrow D F^{2} = 27 + 169 \Leftrightarrow$

$D F^{2} = 196 \Rightarrow D F = 14$