Unesp 2022 - 1ª fase - dia 1

Como trata-se da mesma onda, produzida por alguma fonte, suas frequências nas regiões funda (1) e rasa (2) serão iguais:

$f_1=f_2.$

Pela equação fundamental da ondulatória, $v=\lambda ·f$, podemos relacionar estas frequências com as velocidades de propagação e o comprimento de onda em cada região:

$\frac{v_1}{{\lambda }_1}=\frac{v_2}{{\lambda }_2}.$

As velocidades da onda, por sua vez, podem ser relacionadas com a profundidade das regiões segundo $v=\sqrt{g·h}$. Com isso,

$\frac{\sqrt{\cancel{g}·h_1}}{{\lambda }_1}=\frac{\sqrt{\cancel{g}·h_2}}{{\lambda }_2}\Rightarrow {\lambda }_2={\lambda }_1\sqrt{\frac{h_2}{h_1}}\Rightarrow$

${\lambda }_2=12·\sqrt{\frac{0,9}{3,6}}=12·\sqrt{\frac{1}{4}}\Rightarrow$

${\lambda }_2=12·\frac{1}{2}\Rightarrow \boxed{{\lambda }_2=6 cm}.$

Portanto, a alternativa correta é a.

A energia consumida pelo chuveiro, de potência $P_C=7500 W$ durante seus 12 minutos ($\Delta t_C=\frac{1}{5} h$) de funcionamento é

$E_C=P_C·\Delta t_C=\left(7500 W\right)·\left(\frac{1}{5} h\right)=1500 W·h.$

Funcionando durante um tempo $\Delta t_L$ com potência $P_L=20 W$, a lâmpada utiliza uma quantidade de energia

$E_L=P_L·\Delta t_L=20·\Delta t_L.$

Assim, o tempo pelo qual a lâmpada deve ficar acesa para consumir a mesma quantidade de energia que o chuveiro é

$E_C=E_L\Rightarrow \left(1500 \cancel{W}·h\right)=\left(20 \cancel{W}\right)·\Delta t_L\Rightarrow$

$\Delta t_L=\frac{1500}{20}\Rightarrow \Delta t_L=75 h.$

Portanto a alternativa correta é a b.

Observação. Também é possível chegar ao mesmo resultado igualando diretamente as expressões das energias consumidas pelo chuveiro e pela lâmpada:

$E_C=E_L\Rightarrow P_C·\Delta t_C=P_L·\Delta t_L\Rightarrow$

$\Delta t_L=\frac{P_C}{P_L}\Delta t_C=\frac{7500}{20}\frac{1}{5}=75 h.$

Seja $d$ a distância em quilometros entre a cidade em que Adriana irá estudar e a capital.

O consumo do veículo de Adriana é 14km/L de gasolina segue que a quantidade de litros necesários será dada por $\frac{d}{14}$ L.

Considerando o preço do litro da gasolina de R$ 5,60 e a despesa com manutenção de R$ 0,20 por litro, o custo da viagem com seu carro pode, portanto, ser descrito da seguntinte forma:

$C\left(d\right)=\frac{d}{14}·5,6+0,2·d$

Como o custo da viagem de ônibus e com o carro é o mesmo, temos:

$C\left(d\right)=108\iff$

$\frac{d}{14}·5,6+0,2·d=108\iff$

$0,4·d+0,2·d=108\iff$

$0,6·d=108\iff$

$\boxed{d=180 \text{km}}$

Desta forma, a distância entre a cidade que Adriana irá estudar e a capital é de 180 km.

Observe a figura abaixo:

Podemos notar pela figura que uma boa aproximação para a área da superfície sob a curva é dada pela área dos trapézios retângulos ABNU, BCSN e pelo triângulo retângulo CPS. Assim, a área é:

$S=S_{ABNU}+S_{BCSN}+S_{CPS}\iff$

$S=\frac{\left(11,5+10,5\right)·5}{2}+\frac{\left(10,5+2\right)·5}{2}+\frac{5·2}{2}\iff$

$S=55+31,25+5\iff \boxed{S=91,25 c{m}^2}$

Lembre-se: para calcular a variação percentual, temos:

$V\% = \frac{V_f}{V_i}-1$,

sendo $V_f$ o valor fornecido pela função $d\left(t\right)$ e $V_i$ o valor fornecido pela tabela do enunciado.

Assim, dada a função afim  $d\left(t\right)=0,311·t+0,53$ , temos:

I. Para t = 10 minutos

$d\left(10\right)=0,311·10+0,53\Rightarrow d\left(10\right)=3,64 km$

Comparando com a tabela, temos a variação percentual:

$V_{\%}=\frac{3,64}{3,7}-1\approx -0,016$

Ou seja, houve um erro de 1,6% por subestimativa.

II. Para t = 20 minutos

$d\left(20\right)=0,311·20+0,53\Rightarrow d\left(20\right)=6,75 km$

Comparando com a tabela, temos a variação percentual:

$V_{\%}=\frac{6,75}{7}-1\approx -0,036$

Ou seja, houve um erro de 3,6% por subestimativa.

III. Para t = 30 minutos

$d\left(30\right)=0,311·30+0,53\Rightarrow d\left(30\right)=9,86 km$

Comparando com a tabela, temos a variação percentual:

$V_{\%}=\frac{9,86}{9,1}-1\approx 0,084$

Ou seja, houve um erro de 8,4% por superestimativa.

IV. Para t = 40 minutos

$d\left(40\right)=0,311·40+0,53\Rightarrow d\left(40\right)=12,97 km$

Comparando com a tabela, temos a variação percentual:

$V_{\%}=\frac{12,97}{13,5}-1\approx -0,039$

Ou seja, houve um erro de 3,9% por subestimativa.

V. Para t = 50 minutos

$d\left(50\right)=0,311·50+0,53\Rightarrow d\left(50\right)=16,08 km$

Comparando com a tabela, temos a variação percentual:

$V_{\%}=\frac{16,08}{16}-1=0,005$

Ou seja, houve um erro de 0,5% por superestimativa.

Como o enunciado questiona qual é o menor erro por superestimativa, então concluímos que foi de 0,5% ocorrido para o tempo de 50 minutos.

Podemos observar pela figura que os pontos P e Q estão em posições diametralmente opostas. Sendo assim, em determinado momento do movimento um dos pontos estará na altura máxima em relação ao solo enquanto o outro ponto estará na altura mínima em relação ao solo. Além disso, é sabido que o valor máximo assumido por um cosseno é 1 enquanto o valor mínimo assumido por um cosseno é -1. Deste modo, temos:

$-1\le \cos \left(\mathrm{\pi t}\right)\le 1$

Multiplicando a inequação simultânea acima por 10, temos:

$-10\le \cos \left(\mathrm{\pi t}\right)\le 10$

Somando 20 unidades a toda inequação temos:

$-10+20\le 20+\cos \left(\mathrm{\pi t}\right)\le 10+20\iff$

$10\le 20+\cos \left(\mathrm{\pi t}\right)\le 30\iff$

$10\le h\le 30$

Ou seja, a altura máxima será igual a 30 cm, enquanto a altura mínima será igual a 10 cm. Deste modo,

$PQ=h_{máx}-h_{mín}=30-10\iff \boxed{PQ=20 c\text{m}}$

Sabendo que M é ponto médio e que o quadrilátero MENU também é um quadrado, temos:

Desse modo, concluímos que:

(1) $△UDM~△SAM \left(AA\right)$:

$\frac{UD}{MA}=\frac{DM}{SA}\Rightarrow \frac{2}{1}=\frac{1}{SA}\Rightarrow SA=\frac{1}{2}cm$

Logo, temos que as áreas serão dadas por:

        - área $△UDM$:     $A_1=\frac{2·1}{2}=1 c{m}^2$

        - área $△SAM$:    $A_2=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}·1}{2}=0,25 c{m}^2$ 

(2) área do quadrilátero PSMU:

$A_Q=A_{UDAP}-A_1-A_2=2^2-1-0,25\Rightarrow A_Q=2,75 c{m}^2$

(3) área do do quadrado MENU: 

Por Pitágoras no triângulo UDM, temos:

$U{M}^2=2^2+1^2\Rightarrow U{M}^2=área=5 c{m}^2$

Portanto, a área do pentágono UNESP é dada por:

$A_{UNESP}=A_{MENU}-A_Q=5-2,75\Rightarrow \boxed{A_{UNESP}=2,25 c{m}^2}$

Para que seja sorteado um número multiplo de três, temos:

$\left(3,6,9,...,99\right) \to \frac{99}{3}=33$ possibilidades

Para que seja sorteado um número multiplo de quatro, temos:

$\left(4,8,12,...,100\right) \to \frac{100}{4}=25$ possibilidades

Para que seja sorteado um número multiplo de três e de quatro, ou seja de doze (intersecção), temos:

$\left(12,24,36,...,96\right) \to \frac{96}{12}=8$ possibilidades

Perceba que todos múltiplos de seis também são múltiplos de três e essas possibilidades já foram contadas. Segue o diagrama da situação:

Em todo caso teríamos:

$\left(6,12,18,...,96\right) \to \frac{96}{6}=16$ possibilidades já contabilizadas dentre os múltiplos de 3.

A probabilidade de A ou B ganharem o prêmio será dada por:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=\frac{33}{100}+\frac{25}{100}-\frac{8}{100}=\frac{33+25-8}{100}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$

Desta forma, a probabilidade ($p$) de que a banca ganhe o prêmio é dada pelo complementar da probabilidade de A ou B ganharem, ou seja:

$p=1-P\left(A\cup B\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=0,5=50\%$

OBS: Cabe ressaltar que assumimos que a roda indicada na figura inicia com o número 1, apesar do enunciado não fazer esta afirmação e da imagem ser pouco nítida.

Lembre-se que:

(1) um aumento de 10% equivale ao fator de aumento de $110\% = 1,1$.

(2) um aumento de 4,5% equivale ao fator de aumento de $104,5\%=1,045$.

Desse modo, podemos montar as leis de formação da seguinte forma:

(1) para os LIKES: 

Sabendo que os likes tem aumento de $10\%$ ao dia, então temos os seguintes cálculos para os três primeiros dias:

         $t=1$:         $L\left(1\right)=800$

        $t=2$:        $L\left(2\right)=800·1,1$

        $t=3$:         $L\left(3\right)=800·1,1·1,1=800·1,1^2$

Repare que, para obter a quantidade de likes, sempre precisamos multiplicar por 1,1. Isso significa que temos uma sequência definida por uma PG. Portanto, a quantidade de likes é dada pelo termo geral:

$L\left(t\right)=800·1,1^{t-1}$

(2) para os DISLIKES: 

Sabendo que os dislikes tem aumento de $4,5\%$ ao dia, então temos os seguintes cálculos para os três primeiros dias:

         $t=1$:         $D\left(1\right)=100$

        $t=2$:        $L\left(2\right)=100·1,045$

        $t=3$:         $L\left(3\right)=100·1,045·1,045=800·1,{045}^2$

Repare que, para obter a quantidade de dislikes, sempre precisamos multiplicar por 1,045. Isso significa que temos uma sequência definida por uma PG. Portanto, a quantidade de dislikes é dada pelo termo geral:

$D\left(t\right)=100·1,{045}^{t-1}$

Desse modo, pelo enunciado, temos:

$\frac{D\left(t\right)}{L\left(t\right)}=\frac{1}{40}\Rightarrow \frac{100·1,{045}^{t-1}}{800·1,1^{t-1}}=\frac{1}{40}$

Simplificando:

${\left(\frac{1,045}{1,1}\right)}^{t-1}=\frac{1}{5}\Rightarrow 0,{95}^{t-1}=0,2$

Para determinarmos o valor de t, aplicamos log na base 0,95:

${\log }_{0,95}0,{95}^{t-1}={\log }_{0,95}0,2\Rightarrow t-1={\log }_{0,95}0,2\Rightarrow$

$t={\log }_{0,95}0,2+1$

Mas, repare que:

$1={\log }_{0,95}0,95$

Daí:

$t={\log }_{0,95}0,2+{\log }_{0,95}0,95={\log }_{0,95}0,2·0,95\Rightarrow \boxed{t={\log }_{0,95}0,19}$

Como são três partes de NaOH e duas partes de água, então concluímos que, no total, são cinco partes. Daí:

(1) NaOH: 3 partes de 5 equivalem a $\frac{3}{5}=60\%$ da mistura.

(2) água: 2 partes de 5 equivalem a $\frac{2}{5}=40\%$ da mistura.

Sabendo que $x$ representa a quantidade, em mL, que deve ser usada nessa mistura, temos que:

(1) quantidade de água em função de $x$:

$\left\{\begin{array}{l}água = \frac{2}{5} do total \\ NaOH = \frac{3}{5} do total\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}água = \frac{2}{5}·T\\ x=\frac{3}{5}·T\end{array}\right.$

Isolando e substituindo: 

$\left\{\begin{array}{l}água = \frac{2}{5}·T\\ T=\frac{x}{{\displaystyle \frac{3}{5}}}=\frac{5x}{3}\end{array}\right.\Rightarrow \boxed{água=\frac{2}{5}·\frac{5x}{3}=\frac{2x}{3}}$

(2) como precisamos ter no mínimo 3 mL da mistura, então:

$\left\{\begin{array}{l}NaOH = 60\% de 3 mL=0,6·3=1,8 mL\\ água = 40\% de 3 mL = 0,4·3 = 1,2 mL\end{array}\right.$

Repare que as quantidades de NaOH e água são condizentes com as quantidades do enunciado, então o menor valor é $\boxed{x=1,8 mL}$.

(3) como precisamos ter no máximo 5 mL da mistura, então:

$\left\{\begin{array}{l}NaOH = 60\% de 5 mL=0,6·5=3 mL\\ água = 40\% de 5 mL = 0,4·5=2 mL\end{array}\right.$

Agora, repare que neste caso já não é possível realizar essa mistura já que a quantidade de água que esse químico possui é de 1,6 mL. Então, para obter o máximo valor de NaOH podemos concluir que é utilizando a quantidade máxima de água, isto é:

$água = 40\% da mistura\Rightarrow 1,6 mL = 0,4·T\Rightarrow T=4 mL$

Assim, a quantidade de NaOH é dada por:

$NaOH + água = mistura total\Rightarrow x+1,6=4\Rightarrow \boxed{x=2,4 mL}$

Portanto, $\boxed{1,8\le x\le 2,4}$.