Quando uma onda se propaga por águas rasas, isto é, onde a profundidade é menor do que metade do comprimento da onda, sua velocidade de propagação pode ser calculada com a expressão , em que g é a aceleração da gravidade local e a profundidade das águas na região. Dessa forma, se uma onda passar de uma região com certa profundidade para outra com profundidade diferente, ela sofrerá variação em sua velocidade de propagação, o que caracteriza o fenômeno de refração dessa onda. A figura mostra uma mesma onda propagando-se por uma região de profundidade com comprimento de onda e, em seguida, propagando-se por uma região de profundidade com comprimento de onda .
Na situação apresentada, o comprimento de onda é
a) |
6 m. |
b) |
2 m. |
c) |
8 m. |
d) |
1 m. |
e) |
4 m. |
Como trata-se da mesma onda, produzida por alguma fonte, suas frequências nas regiões funda (1) e rasa (2) serão iguais:
Pela equação fundamental da ondulatória, , podemos relacionar estas frequências com as velocidades de propagação e o comprimento de onda em cada região:
As velocidades da onda, por sua vez, podem ser relacionadas com a profundidade das regiões segundo . Com isso,
Portanto, a alternativa correta é a.
Após comprar um chuveiro elétrico e uma lâmpada fluorescente compacta para sua casa, um rapaz fez-se a seguinte pergunta:
— Por quanto tempo essa lâmpada precisa ficar acesa para consumir a mesma quantidade de energia elétrica que esse chuveiro consome em um banho de 12 minutos de duração?
Para responder a essa pergunta, consultou as embalagens dos dois produtos e observou os detalhes mostrados nas figuras.
A resposta à pergunta feita pelo rapaz é
a) |
36 horas. |
b) |
75 horas. |
c) |
25 horas. |
d) |
90 horas. |
e) |
100 horas. |
A energia consumida pelo chuveiro, de potência durante seus 12 minutos () de funcionamento é
Funcionando durante um tempo com potência , a lâmpada utiliza uma quantidade de energia
Assim, o tempo pelo qual a lâmpada deve ficar acesa para consumir a mesma quantidade de energia que o chuveiro é
Portanto a alternativa correta é a b.
Observação. Também é possível chegar ao mesmo resultado igualando diretamente as expressões das energias consumidas pelo chuveiro e pela lâmpada:
O preço da passagem de ônibus convencional de uma cidade do interior de São Paulo para a capital é de R$ 108,00. Adriana vai estudar nessa cidade e deseja visitar seus pais em São Paulo durante alguns finais de semana. Além da opção de fazer a viagem de ônibus convencional, ela também cogita a possibilidade de fazer a viagem com seu carro, cujo consumo de combustível na estrada é de 14 km por litro de gasolina. Considerando R$ 5,60 o preço do litro de gasolina e 20 centavos por quilômetro rodado o custo geral de manutenção do carro, os custos da viagem de ônibus e da viagem de carro são equivalentes. De acordo com esses dados, a distância considerada entre a cidade em que ela vai estudar e a capital é igual a
a) |
182 km. |
b) |
180 km. |
c) |
185 km. |
d) |
178 km. |
e) |
176 km. |
Seja a distância em quilometros entre a cidade em que Adriana irá estudar e a capital.
O consumo do veículo de Adriana é 14km/L de gasolina segue que a quantidade de litros necesários será dada por L.
Considerando o preço do litro da gasolina de R$ 5,60 e a despesa com manutenção de R$ 0,20 por litro, o custo da viagem com seu carro pode, portanto, ser descrito da seguntinte forma:
Como o custo da viagem de ônibus e com o carro é o mesmo, temos:
Desta forma, a distância entre a cidade que Adriana irá estudar e a capital é de 180 km.
A curva destacada em vermelho liga os pontos U e P, passando pelos pontos N, E e S.
Considerando as medidas indicadas na figura, uma boa aproximação para a área da superfície sob a curva, destacada em amarelo, é de
a) |
. |
b) |
|
c) |
|
d) |
|
e) |
|
Observe a figura abaixo:
Podemos notar pela figura que uma boa aproximação para a área da superfície sob a curva é dada pela área dos trapézios retângulos ABNU, BCSN e pelo triângulo retângulo CPS. Assim, a área é:
Um aplicativo instalado no celular de um ciclista informa, de 10 em 10 minutos do passeio de bicicleta, o tempo acumulado t e a distância acumulada d, em minutos e quilômetros. A tabela e o gráfico mostram os dados informados pelo aplicativo ao término de um passeio de 50 minutos. Quando o método estatístico do aplicativo identifica que o conjunto de pares ordenados se ajusta razoavelmente bem a uma reta, ele informa sua equação que, no caso do conjunto de dados da tabela, foi .
Analisando o gráfico, a equação e os cinco pares ordenados da tabela, observa-se que a equação de reta fornecida pelo aplicativo comete erros por superestimativa ou por subestimativa no cálculo de d, para cada um dos cinco valores de t. O menor erro por superestimativa de d cometido pela equação fornecida, em termos percentuais, foi de
a) |
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b) |
|
c) |
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d) |
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e) |
|
Lembre-se: para calcular a variação percentual, temos:
,
sendo o valor fornecido pela função e o valor fornecido pela tabela do enunciado.
Assim, dada a função afim , temos:
I. Para t = 10 minutos
Comparando com a tabela, temos a variação percentual:
Ou seja, houve um erro de 1,6% por subestimativa.
II. Para t = 20 minutos
Comparando com a tabela, temos a variação percentual:
Ou seja, houve um erro de 3,6% por subestimativa.
III. Para t = 30 minutos
Comparando com a tabela, temos a variação percentual:
Ou seja, houve um erro de 8,4% por superestimativa.
IV. Para t = 40 minutos
Comparando com a tabela, temos a variação percentual:
Ou seja, houve um erro de 3,9% por subestimativa.
V. Para t = 50 minutos
Comparando com a tabela, temos a variação percentual:
Ou seja, houve um erro de 0,5% por superestimativa.
Como o enunciado questiona qual é o menor erro por superestimativa, então concluímos que foi de 0,5% ocorrido para o tempo de 50 minutos.
Na figura, representa o eixo dos pedais de uma bicicleta. A altura do ponto Q ao chão, em centímetros, é , em que t é o tempo, em segundos, contado a partir do momento que o ponto Q está no ponto mais distante do chão.
O comprimento do eixo é de
a) |
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b) |
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c) |
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d) |
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e) |
|
Podemos observar pela figura que os pontos P e Q estão em posições diametralmente opostas. Sendo assim, em determinado momento do movimento um dos pontos estará na altura máxima em relação ao solo enquanto o outro ponto estará na altura mínima em relação ao solo. Além disso, é sabido que o valor máximo assumido por um cosseno é 1 enquanto o valor mínimo assumido por um cosseno é -1. Deste modo, temos:
Multiplicando a inequação simultânea acima por 10, temos:
Somando 20 unidades a toda inequação temos:
Ou seja, a altura máxima será igual a 30 cm, enquanto a altura mínima será igual a 10 cm. Deste modo,
O quadrado PADU tem lado de medida 2 cm. A partir de M, que é ponto médio de , forma-se um novo quadrado, MENU, como mostra a figura.
Nessa figura, a área do pentágono não convexo UNESP é igual a
a) |
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b) |
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c) |
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d) |
|
e) |
|
Sabendo que M é ponto médio e que o quadrilátero MENU também é um quadrado, temos:
Desse modo, concluímos que:
(1) :
Logo, temos que as áreas serão dadas por:
- área :
- área :
(2) área do quadrilátero PSMU:
(3) área do do quadrado MENU:
Por Pitágoras no triângulo UDM, temos:
Portanto, a área do pentágono UNESP é dada por:
Em um jogo, com dois jogadores (A e B) e a banca, gira-se a roda indicada na figura, até que ela pare aleatoriamente em um dos 100 números naturais positivos e consecutivos, que são equiprováveis.
(https://spinthewheel.app. Adaptado.)
As regras do jogo são:
1) se sair um múltiplo de 3, o jogador A ganha o prêmio;
2) se sair um múltiplo de 4 ou 6, o jogador B ganha o prêmio;
3) se sair um número que implique na vitória de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, A e B repartem o prêmio;
4) se sair um número que implique em derrota de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, a banca ganha o prêmio
Em cada rodada, a probabilidade da banca do jogo ganhar o prêmio é de
a) |
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b) |
|
c) |
|
d) |
|
e) |
|
Para que seja sorteado um número multiplo de três, temos:
possibilidades
Para que seja sorteado um número multiplo de quatro, temos:
possibilidades
Para que seja sorteado um número multiplo de três e de quatro, ou seja de doze (intersecção), temos:
possibilidades
Perceba que todos múltiplos de seis também são múltiplos de três e essas possibilidades já foram contadas. Segue o diagrama da situação:
Em todo caso teríamos:
possibilidades já contabilizadas dentre os múltiplos de 3.
A probabilidade de A ou B ganharem o prêmio será dada por:
Desta forma, a probabilidade () de que a banca ganhe o prêmio é dada pelo complementar da probabilidade de A ou B ganharem, ou seja:
OBS: Cabe ressaltar que assumimos que a roda indicada na figura inicia com o número 1, apesar do enunciado não fazer esta afirmação e da imagem ser pouco nítida.
Um vídeo postado na internet no 1o dia do ano obteve, nesse dia , 800 likes e 100 dislikes
Estima-se que nos próximos dias (t = 2, 3, 4, ...) haverá um aumento diário de 10% nos likes acumulados e um aumento diário de 4,5% nos dislikes acumulados. Tais estimativas são válidas até o momento em que a razão entre dislikes e likes seja aproximadamente , o que ocorrerá no valor inteiro de t mais próximo de
a) |
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b) |
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c) |
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d) |
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e) |
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Lembre-se que:
(1) um aumento de 10% equivale ao fator de aumento de .
(2) um aumento de 4,5% equivale ao fator de aumento de .
Desse modo, podemos montar as leis de formação da seguinte forma:
(1) para os LIKES:
Sabendo que os likes tem aumento de ao dia, então temos os seguintes cálculos para os três primeiros dias:
:
:
:
Repare que, para obter a quantidade de likes, sempre precisamos multiplicar por 1,1. Isso significa que temos uma sequência definida por uma PG. Portanto, a quantidade de likes é dada pelo termo geral:
(2) para os DISLIKES:
Sabendo que os dislikes tem aumento de ao dia, então temos os seguintes cálculos para os três primeiros dias:
:
:
:
Repare que, para obter a quantidade de dislikes, sempre precisamos multiplicar por 1,045. Isso significa que temos uma sequência definida por uma PG. Portanto, a quantidade de dislikes é dada pelo termo geral:
Desse modo, pelo enunciado, temos:
Simplificando:
Para determinarmos o valor de t, aplicamos log na base 0,95:
Mas, repare que:
Daí:
Um químico precisa misturar três partes de hidróxido de sódio (NaOH) com duas partes de água. Para essa tarefa, ele tem 5000 µL de NaOH e 1600 µL de água. Sabe-se que o volume da mistura deve ser de, pelo menos, 3 mL e de, no máximo, 5 mL. Seja x a quantidade total de NaOH, em mL, que deve ser usada na mistura correta. Dado que 1 µL corresponde à 10–6 L, a quantidade total de água, em mL, e o intervalo contendo apenas todos os valores possíveis de x que podem ser usados na mistura são, respectivamente
a) |
e |
b) |
e |
c) |
e |
d) |
e |
e) |
e |
Como são três partes de NaOH e duas partes de água, então concluímos que, no total, são cinco partes. Daí:
(1) NaOH: 3 partes de 5 equivalem a da mistura.
(2) água: 2 partes de 5 equivalem a da mistura.
Sabendo que representa a quantidade, em mL, que deve ser usada nessa mistura, temos que:
(1) quantidade de água em função de :
Isolando e substituindo:
(2) como precisamos ter no mínimo 3 mL da mistura, então:
Repare que as quantidades de NaOH e água são condizentes com as quantidades do enunciado, então o menor valor é .
(3) como precisamos ter no máximo 5 mL da mistura, então:
Agora, repare que neste caso já não é possível realizar essa mistura já que a quantidade de água que esse químico possui é de 1,6 mL. Então, para obter o máximo valor de NaOH podemos concluir que é utilizando a quantidade máxima de água, isto é:
Assim, a quantidade de NaOH é dada por:
Portanto, .