Questão 88 Unesp 2022 - 1ª fase - dia 1 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 88

Sequências Probabilidade Múltiplos e Divisores

Em um jogo, com dois jogadores (A e B) e a banca, gira-se a roda indicada na figura, até que ela pare aleatoriamente em um dos 100 números naturais positivos e consecutivos, que são equiprováveis.

(https://spinthewheel.app. Adaptado.)

As regras do jogo são:

1) se sair um múltiplo de 3, o jogador A ganha o prêmio;

2) se sair um múltiplo de 4 ou 6, o jogador B ganha o prêmio;

3) se sair um número que implique na vitória de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, A e B repartem o prêmio;

4) se sair um número que implique em derrota de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, a banca ganha o prêmio

Em cada rodada, a probabilidade da banca do jogo ganhar o prêmio é de

a)	$50 %$
b)	$42 %$
c)	$56 %$
d)	$58 %$
e)	$66 %$

Resolução

Para que seja sorteado um número multiplo de três, temos:

$(3, 6, 9, . . ., 99) \to \frac{99}{3} = 33$ possibilidades

Para que seja sorteado um número multiplo de quatro, temos:

$(4, 8, 12, . . ., 100) \to \frac{100}{4} = 25$ possibilidades

Para que seja sorteado um número multiplo de três e de quatro, ou seja de doze (intersecção), temos:

$(12, 24, 36, . . ., 96) \to \frac{96}{12} = 8$ possibilidades

Perceba que todos múltiplos de seis também são múltiplos de três e essas possibilidades já foram contadas. Segue o diagrama da situação:

Em todo caso teríamos:

$(6, 12, 18, . . ., 96) \to \frac{96}{6} = 16$ possibilidades já contabilizadas dentre os múltiplos de 3.

A probabilidade de A ou B ganharem o prêmio será dada por:

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = \frac{33}{100} + \frac{25}{100} - \frac{8}{100} = \frac{33 + 25 - 8}{100} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$

Desta forma, a probabilidade ( $p$ ) de que a banca ganhe o prêmio é dada pelo complementar da probabilidade de A ou B ganharem, ou seja:

$p = 1 - P (A \cup B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0, 5 = 50 %$

OBS: Cabe ressaltar que assumimos que a roda indicada na figura inicia com o número 1, apesar do enunciado não fazer esta afirmação e da imagem ser pouco nítida.