Questão 89 Unesp 2022 - 1ª fase - dia 1 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 89

Progressão Geométrica Função Logarítmica

Um vídeo postado na internet no 1o dia do ano obteve, nesse dia $(t = 1)$ , 800 likes e 100 dislikes

Estima-se que nos próximos dias (t = 2, 3, 4, ...) haverá um aumento diário de 10% nos likes acumulados e um aumento diário de 4,5% nos dislikes acumulados. Tais estimativas são válidas até o momento em que a razão entre dislikes e likes seja aproximadamente $\frac{1}{40}$ , o que ocorrerá no valor inteiro de t mais próximo de

a)	$\log_{0, 95} 0, 12 .$
b)	$\log_{0, 95} 0, 19 .$
c)	$\log_{0, 05} 0, 19 .$
d)	$\log_{1, 05} 1, 9 .$
e)	$\log_{0, 05} 0, 12 .$

Resolução

Lembre-se que:

(1) um aumento de 10% equivale ao fator de aumento de $110 % = 1, 1$ .

(2) um aumento de 4,5% equivale ao fator de aumento de $104, 5 % = 1, 045$ .

Desse modo, podemos montar as leis de formação da seguinte forma:

(1) para os LIKES:

Sabendo que os likes tem aumento de $10 %$ ao dia, então temos os seguintes cálculos para os três primeiros dias:

$t = 1$ : $L (1) = 800$

$t = 2$ : $L (2) = 800 \cdot 1, 1$

$t = 3$ : $L (3) = 800 \cdot 1, 1 \cdot 1, 1 = 800 \cdot 1, 1^{2}$

Repare que, para obter a quantidade de likes, sempre precisamos multiplicar por 1,1. Isso significa que temos uma sequência definida por uma PG. Portanto, a quantidade de likes é dada pelo termo geral:

$L (t) = 800 \cdot 1, 1^{t - 1}$

(2) para os DISLIKES:

Sabendo que os dislikes tem aumento de $4, 5 %$ ao dia, então temos os seguintes cálculos para os três primeiros dias:

$t = 1$ : $D (1) = 100$

$t = 2$ : $L (2) = 100 \cdot 1, 045$

$t = 3$ : $L (3) = 100 \cdot 1, 045 \cdot 1, 045 = 800 \cdot 1, 045^{2}$

Repare que, para obter a quantidade de dislikes, sempre precisamos multiplicar por 1,045. Isso significa que temos uma sequência definida por uma PG. Portanto, a quantidade de dislikes é dada pelo termo geral:

$D (t) = 100 \cdot 1, 045^{t - 1}$

Desse modo, pelo enunciado, temos:

$\frac{D (t)}{L (t)} = \frac{1}{40} \Rightarrow \frac{100 \cdot 1, 045^{t - 1}}{800 \cdot 1, 1^{t - 1}} = \frac{1}{40}$

Simplificando:

${(\frac{1, 045}{1, 1})}^{t - 1} = \frac{1}{5} \Rightarrow 0, 95^{t - 1} = 0, 2$

Para determinarmos o valor de t, aplicamos log na base 0,95:

$\log_{0, 95} 0, 95^{t - 1} = \log_{0, 95} 0, 2 \Rightarrow t - 1 = \log_{0, 95} 0, 2 \Rightarrow$

$t = \log_{0, 95} 0, 2 + 1$

Mas, repare que:

$1 = \log_{0, 95} 0, 95$

Daí:

$t = \log_{0, 95} 0, 2 + \log_{0, 95} 0, 95 = \log_{0, 95} 0, 2 \cdot 0, 95 \Rightarrow t = \log_{0, 95} 0, 19$