Questão 87 Unesp 2022 - 1ª fase - dia 1 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 87

Área de polígonos

O quadrado PADU tem lado de medida 2 cm. A partir de M, que é ponto médio de $D A$ , forma-se um novo quadrado, MENU, como mostra a figura.

Nessa figura, a área do pentágono não convexo UNESP é igual a

Resolução

Sabendo que M é ponto médio e que o quadrilátero MENU também é um quadrado, temos:

Desse modo, concluímos que:

(1) $△ U D M ~ △ S A M (A A)$ :

$\frac{U D}{M A} = \frac{D M}{S A} \Rightarrow \frac{2}{1} = \frac{1}{S A} \Rightarrow S A = \frac{1}{2} c m$

Logo, temos que as áreas serão dadas por:

- área $△ U D M$ : $A_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1 c m^{2}$

- área $△ S A M$ : $A_{2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{2} = 0, 25 c m^{2}$

(2) área do quadrilátero PSMU:

$A_{Q} = A_{U D A P} - A_{1} - A_{2} = 2^{2} - 1 - 0, 25 \Rightarrow A_{Q} = 2, 75 c m^{2}$

(3) área do do quadrado MENU:

Por Pitágoras no triângulo UDM, temos:

$U M^{2} = 2^{2} + 1^{2} \Rightarrow U M^{2} = á r e a = 5 c m^{2}$

Portanto, a área do pentágono UNESP é dada por:

$A_{U N E S P} = A_{M E N U} - A_{Q} = 5 - 2, 75 \Rightarrow A_{U N E S P} = 2, 25 c m^{2}$