Questão 90 Unesp 2022 - 1ª fase - dia 1 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 90

Razão e Proporção

Um químico precisa misturar três partes de hidróxido de sódio (NaOH) com duas partes de água. Para essa tarefa, ele tem 5000 µL de NaOH e 1600 µL de água. Sabe-se que o volume da mistura deve ser de, pelo menos, 3 mL e de, no máximo, 5 mL. Seja x a quantidade total de NaOH, em mL, que deve ser usada na mistura correta. Dado que 1 µL corresponde à 10^–6 L, a quantidade total de água, em mL, e o intervalo contendo apenas todos os valores possíveis de x que podem ser usados na mistura são, respectivamente

a)	$\frac{2 x}{3}$ e $2, 4 \leq x \leq 3$
b)	$\frac{2 x}{3}$ e $1, 6 \leq x \leq 2, 4$
c)	$\frac{2 x}{3}$ e $1, 2 \leq x \leq 1, 8$
d)	$\frac{2 x}{5}$ e $1, 6 \leq x \leq 2, 4$
e)	$\frac{2 x}{3}$ e $1, 8 \leq x \leq 2, 4$

Resolução

Como são três partes de NaOH e duas partes de água, então concluímos que, no total, são cinco partes. Daí:

(1) NaOH: 3 partes de 5 equivalem a $\frac{3}{5} = 60 %$ da mistura.

(2) água: 2 partes de 5 equivalem a $\frac{2}{5} = 40 %$ da mistura.

Sabendo que $x$ representa a quantidade, em mL, que deve ser usada nessa mistura, temos que:

(1) quantidade de água em função de $x$ :

$\{\begin{cases} á g u a = \frac{2}{5} d o t o t a l \\ N a O H = \frac{3}{5} d o t o t a l \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} á g u a = \frac{2}{5} \cdot T \\ x = \frac{3}{5} \cdot T \end{cases}$

Isolando e substituindo:

$\{\begin{cases} á g u a = \frac{2}{5} \cdot T \\ T = \frac{x}{\frac{3}{5}} = \frac{5 x}{3} \end{cases} \Rightarrow á g u a = \frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{3} = \frac{2 x}{3}$

(2) como precisamos ter no mínimo 3 mL da mistura, então:

$\{\begin{cases} N a O H = 60 % d e 3 m L = 0, 6 \cdot 3 = 1, 8 m L \\ á g u a = 40 % d e 3 m L = 0, 4 \cdot 3 = 1, 2 m L \end{cases}$

Repare que as quantidades de NaOH e água são condizentes com as quantidades do enunciado, então o menor valor é $x = 1, 8 m L$ .

(3) como precisamos ter no máximo 5 mL da mistura, então:

$\{\begin{cases} N a O H = 60 % d e 5 m L = 0, 6 \cdot 5 = 3 m L \\ á g u a = 40 % d e 5 m L = 0, 4 \cdot 5 = 2 m L \end{cases}$

Agora, repare que neste caso já não é possível realizar essa mistura já que a quantidade de água que esse químico possui é de 1,6 mL. Então, para obter o máximo valor de NaOH podemos concluir que é utilizando a quantidade máxima de água, isto é:

$á g u a = 40 % d a m i s t u r a \Rightarrow 1, 6 m L = 0, 4 \cdot T \Rightarrow T = 4 m L$

Assim, a quantidade de NaOH é dada por:

$N a O H + á g u a = m i s t u r a t o t a l \Rightarrow x + 1, 6 = 4 \Rightarrow x = 2, 4 m L$

Portanto, $1, 8 \leq x \leq 2, 4$ .