Enem 2021 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 141 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Média Ponderada Equações e Inequações

Uma grande rede de supermercados adota um sistema de avaliação dos faturamentos de suas filiais, considerando a média de faturamento mensal em milhão. A matriz da rede paga uma comissão para os representantes dos supermercados que atingirem uma média de faturamento mensal (M), conforme apresentado no quadro.

Comissão	Média de faturamento mensal (M)
I	$1 \leq M < 2$
II	$2 \leq M < 4$
III	$4 \leq M < 5$
IV	$5 \leq M < 6$
V	$M \geq 6$

Um supermercado da rede obteve os faturamentos num dado ano, conforme apresentado no quadro.

Faturamento mensal (em milhão de real)	Quantidade de meses
3,5	3
2,5	2
5	2
3	4
7,5	1

Nas condições apresentadas, os representantes desse supermercado avaliam que receberão, no ano seguinte, a comissão de tipo

a)	I.
b)	II.
c)	III.
d)	IV.
e)	V.

Resolução

Efetuando-se o cálculo da média aritmética ponderada de faturamento mensal em milhão de real, temos:

$M = \frac{3 \cdot 3, 5 + 2 \cdot 2, 5 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 1 \cdot 7, 5}{3 + 2 + 2 + 4 + 1} = \frac{45}{12} = 3, 75$

Tal valor pertence ao intervalo representado na comissão de tipo II:

$2 \leq 3, 75 < 4$

Questão 142 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Função Afim

Aplicativos que gerenciam serviços de hospedagem têm ganhado espaço no Brasil e no mundo por oferecer opções diferenciadas em termos de localização e valores de hospedagem. Em um desses aplicativos, o preço P a ser pago pela hospedagem é calculado considerando um preço por diária d, acrescido de uma taxa fixa de limpeza L e de uma taxa de serviço. Essa taxa de serviço é um valor percentual s calculado sobre o valor pago pelo total das diárias.
Nessa situação, o preço a ser pago ao aplicativo para uma hospedagem de n diárias pode ser obtido pela expressão

a)	$P = d \cdot n + L + d \cdot n \cdot s$
b)	$P = d \cdot n + L + d \cdot s$
c)	$P = d + L + s$
d)	$P = d \cdot n \cdot s + L$
e)	$P = d \cdot n + L + s$

Resolução

O preço $P$ é composto pela soma de três valores: o total das diárias, a taxa fixa de limpeza, e a taxa de serviço.

O valor total das diárias é dado pelo produto do preço por diária $d$ pelo número de diárias $n$ :

$d \cdot n$

A taxa fixa de limpeza é dada por $L$ , e a taxa de serviço é data pelo produto do percentual $s$ com o total das diárias $d \cdot n$ :

$d \cdot n \cdot s$

Assim, o valor do preço a ser pago é:

$P = d \cdot n + L + d \cdot n \cdot s$

Questão 143 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Probabilidade Probabilidade do Complementar

O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, $\frac{1}{2}$ de probabilidade de acertar um dardo no alvo.
A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a $\frac{9}{10}$ . Para isso. decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

a)	2.
b)	4.
c)	6.
d)	9.
e)	10.

Resolução

Dado que a probabilidade de um jogador pontuar é a probabilidade de acertar pelo menos um dardo do alvo, podemos calcular mais facilmente a probabilidade complementar, que representa a probabilidade de que o jogador não pontue.

Para um jogador não pontuar, todos lançamentos devem errar o alvo.

Como um lançamento acerta o alvo com $\frac{1}{2}$ de probabilidade, a probabilidade de erro é de $\frac{1}{2}$ .

Para $n$ lançamentos, a probabilidade de um jogador não pontuar, isto é, errar todos os lançamentos, é de:

$P (não pontuar) = {(\frac{1}{2})}^{n}$

Deseja-se que $P (pontuar) \geq \frac{9}{10}$ . Isto é:

$P (pontuar) = 1 - P (não pontuar) \geq \frac{9}{10} \Leftrightarrow \Leftrightarrow - P (não pontuar) \geq \frac{9}{10} - 1 = - \frac{1}{10} ∴ P (não pontuar) \leq \frac{1}{10}$

Resolvendo para o número de lançamentos $n$ (que deve ser um número natural):

${(\frac{1}{2})}^{n} \leq \frac{1}{10} \Leftrightarrow \frac{1}{2^{n}} \leq \frac{1}{10} \Leftrightarrow 2^{n} \geq 10$

como, $2^{3} < 10 < 2^{4}$ , então, o menor número natural que satisfaz a desigualdade é $n = 4$ .

Questão 144 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Inteiros (Z)

O sistema de numeração romano ainda é utilizado na indicação de capítulos e volumes de livros, na designação de séculos e, em ordem cronológica, de papas e reis de mesmo nome. São utilizadas sete letras do alfabeto:
Quatro fundamentais: I (vale 1); X (vale 10); C (vale 100) e M (vale 1 000).
Três secundárias: V (vale 5); L (vale 50) e D (vale 500).

As regras para escrever números romanos são:
1. Não existe símbolo correspondente ao zero;
2. Os símbolos fundamentais podem ser repetidos até três vezes e seus valores são adicionados. Exemplo: $XXX = 30$ ;
3. Uma letra posta à esquerda de outra de maior valor indica subtração dos respectivos valores. Exemplo: $IX = 10 - 1 = 9$ ;
4. Uma letra posta à direita de outra de maior valor indica adição dos respectivos valores. Exemplo: $XI = 10 + 1 = 11 .$

Em uma cidade europeia há uma placa indicando o ano de sua fundação: MCDLXIX.

Quantos anos de fundação essa cidade comemorará em 2050?

a)	379.
b)	381.
c)	579.
d)	581.
e)	601.

Resolução

Fazendo a leitura do número romano obtém-se:

$MCDLXIX = \underset{1000}{M} \underset{400}{CD} \underset{60}{LX} \underset{9}{IX} = 1469$

Portanto, a idade da cidade em 2050 será:

$2050 - 1469 = 581 anos$

Questão 145 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Bases Numéricas

Uma das bases mais utilizadas para representar um número é a base decimal. Entretanto, os computadores trabalham com números na base binária. Nessa base, qualquer número natural é representado usando apenas os algarismos 0 e 1. Por exemplo, as representações dos números 9 e 12, na base binária, são 1001 e 1100, respectivamente. A operação de adição, na base binária, segue um algoritmo similar ao utilizado na base decimal, como detalhado no quadro:

a	b	a + b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	10

Por exemplo, na base binária, a soma dos números 10 e 10 é 100, como apresentado:

Considerando as informações do texto, o resultado da adição $9 + 12$ será representado, na base binária, por:

a)	101.
b)	1101.
c)	1111.
d)	10101.
e)	11001.

Resolução

O número $9$ do sistema decimal pode ser escrito na forma

$9 = 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 9 = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

Assim, passando o número $9$ da base decimal para a base binária, temos que

${(9)}_{2} = 1001$

Analogamente, o número $12$ do sistema decimal pode ser escrito na forma

$12 = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 12 = 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0}$

Logo,

${(12)}_{2} = 1100$

Efetuando a soma desses dois números na base binária como proposto no enunciado, obtemos

$\begin{array}{r} 1001 \\ + 1100 \\ 10101 \end{array}$

Portanto,

${(9 + 12)}_{2} = 10101$

Questão 146 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Aritmética

Uma unidade de medida comum usada para expressar áreas de terrenos de grandes dimensões é o hectare, que equivale a $10 000 m^{2}$ . Um fazendeiro decide fazer um loteamento utilizando 3 hectares de sua fazenda, dos quais 0,9 hectare será usado para a construção de ruas e calçadas e o restante será dividido em terrenos com área de $300 m^{2}$ cada um. Os 20 primeiros terrenos vendidos terão preços promocionais de R$ 20 000,00 cada, e os demais, R$ 30 000,00 cada.
Nas condições estabelecidas, o valor total, em real, obtido pelo fazendeiro com a venda de todos os terrenos será igual a

a)	700 000.
b)	1 600 000.
c)	1 900 000.
d)	2 200 000.
e)	2 800 000.

Resolução

Como o loteamento terá área de 3 hectares e será utilizado 0,9 hectare para construção de ruas e calçadas, sobram 2,1 hectares para serem divididos em terrenos. Tal área, em metros quadrados, corresponde a

$2, 1 \cdot 10.000 = 21.000 m^{2}$

Sabendo que a área de cada terreno é $300 m^{2}$ , a quantidade de terrenos no loteamento será

$\frac{21.000}{300} = 70 terrenos$

Assim, os 20 primeiros terrenos serão vendidos por $R$ 20.000, 00$ cada um, enquanto os 50 terrenos restantes serão vendidos por $R$ 30.000, 00$ cada um.

Portanto, o valor total obtido pelo fazendeiro com a venda de todos os terrenos será

$20 \cdot 20.000, 00 + 50 \cdot 30.000, 00 = = 400.000, 00 + 1.500.000, 00 = R$ 1.900.000, 00$

Questão 147 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Análise Combinatória

Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua
disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas.
A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão

a)	$\frac{6!}{4! 2!} \cdot \frac{15!}{10! 5!}$
b)	$\frac{6!}{4! 2!} + \frac{15!}{10! 5!}$
c)	$\frac{6!}{2!} + \frac{15!}{5!}$
d)	$\frac{6!}{2!} \cdot \frac{15!}{5!}$
e)	$\frac{21!}{7! 14!}$

Resolução

Para produzir a fantasia a pessoa terá que efetuar duas escolhas simultaneamente: a de 2 tecidos dentre os 6 disponíveis e a de 5 pedras ornamentais dentre as 15 disponíveis.

Como o enunciado não menciona qualquer relevância com respeito à ordenação na qual os itens de um mesmo tipo são escolhidos, tais escolhas devem ser feitas através de combinações.

Assim, na primeira escolha o número de possibilidades é $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{6!}{4! \cdot 2!}$ .

Já na segunda escolha o número de possibilidades é $(\begin{matrix} 15 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{15!}{10! \cdot 5!}$ .

Como as escolhas são independentes e devem ser feitas simultaneamente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de maneiras de se efetuar as duas escolhas é

$\frac{6!}{4! \cdot 2!} \cdot \frac{15!}{10! \cdot 5!}$

Questão 148 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Função Afim

    Os diretores de uma escola precisam construir um laboratório para uso dos alunos. Há duas possibilidades:
    (i) um laboratório do tipo A, com capacidade para 100 usuários, a um custo de 180 mil reais e gastos de 60 mil reais por ano para manutenção;
    (ii) um laboratório do tipo B, com capacidade para 80 usuários, a um custo de 120 mil reais e gastos com manutenção de 16 mil reais por ano.
    Considera-se que, em qualquer caso, o laboratório implantado será utilizado na totalidade de sua capacidade.
A economia da escola, na utilização de um laboratório tipo B, em vez de um laboratório tipo A, num período de 4 anos, por usuário, será de

a)	1,31 mil reais.
b)	1,90 mil reais.
c)	2,30 mil reais.
d)	2,36 mil reais.
e)	2,95 mil reais.

Resolução

Observação: Acreditamos que o enunciado poderia ser mais claro com respeito ao "custo por usuário" de um laboratório como sendo o custo por capacidade máxima do laboratório. Isto pois, como os laboratórios serão utilizados em suas capacidades máximas, após $t$ anos contados a partir da construção, é de se esperar que o número de usuários do respectivo laboratório seja o produto de sua capacidade máxima por $t$ .

Um laboratório do tipo A possui capacidade para 100 usuários. Assim, o custo por usuário para a construção e a manutenção de um laboratório do tipo A, após $t$ anos, é dado, em reais, pela função afim

$A (t) = \frac{180.000 + 60.000 t}{100} A (t) = 18.000 + 600 t$

Assim, o custo por usuário de um laboratório do tipo A após 4 anos será

$A (4) = 1.800 + 600 \cdot 4 A (4) = R$ 4.200, 00$

Por outro lado, como um laboratório do tipo B possui capacidade para apenas 80 usuários, o custo por usuário para a construção e a manutenção de um laboratório do tipo B, após $t$ anos, é dado, em reais, pela função afim

$B (t) = \frac{120.000 + 16.000 t}{80} B (t) = 1.500 + 200 t$

Logo, o custo por usuário de um laboratório do tipo B após 4 anos será

$B (4) = 1.500 + 200 \cdot 4 B (4) = R$ 2.300, 00$

Portanto, ao optar por construir um laboratório do tipo B, a escola terá, em 4 anos, uma economia por usuário de

$4.200, 00 - 2.300, 00 = R$ 1.900, 00$

ou seja, tal valor corresponde a $1, 90$ mil reais.

Questão 149 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Aritmética

Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega $φ$ , e seu valor é dado pela solução positiva da equação $φ^{2} = φ + 1$ .
Assim como a potência $φ^{2}$ , as potências superiores de $φ$ podem ser expressas da forma $a φ + b$ , em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.

$φ^{2}$	$φ^{3}$	$φ^{4}$	$φ^{5}$	$φ^{6}$	$φ^{7}$
$φ + 1$	$2 φ + 1$	$3 φ + 2$	$5 φ + 3$	$8 φ + 5$	...

A potência $φ^{7}$ , escrita na forma $a φ + b$ (a e b são inteiros positivos), é

a)	$5 φ + 3$
b)	$7 φ + 2$
c)	$9 φ + 6$
d)	$11 φ + 7$
e)	$13 φ + 8$

Resolução

Primeira resolução:

Pela tabela podemos perceber que ao somar os coeficientes ( $a$ e $b$ ) de uma potência de $φ$ obtemos o coeficiente $a$ da potência seguinte e o coeficiente $b$ desta potência será dado pelo coeficiente $a$ da anterior,

Ou seja:

$φ^{n} = \underset{a_{n}}{\underset{⏟}{(a_{n - 1} + b_{n - 1})}} φ + \underset{b_{n}}{\underset{⏟}{a_{n - 1}}}$

Como $φ^{6} = 8 φ + 5$ , segue que:

$φ^{7} = (8 + 5) φ + 8$

$φ^{7} = 13 φ + 8$

Segunda resolução:

Para se obter a potência $φ^{n + 1}$ , basta multiplicar a sentença $φ^{n}$ por $φ$ , e utilizar a equação $φ^{2} = φ + 1$ , ou seja:

(i) $φ^{2} = φ + 1 \Rightarrow φ^{3} = φ^{2} + φ \Rightarrow φ^{3} = (φ + 1) + φ \Rightarrow φ^{3} = 2 φ + 1$

(ii) $φ^{3} = 2 φ + 1 \Rightarrow φ^{4} = 2 φ^{2} + φ \Rightarrow φ^{4} = 2 (φ + 1) + φ \Rightarrow φ^{4} = 3 φ + 2$

...

(v) $φ^{6} = 8 φ + 5 \Rightarrow φ^{7} = 8 φ^{2} + 5 φ \Rightarrow φ^{7} = 8 (φ + 1) + 5 φ \Rightarrow φ^{7} = 13 φ + 8$

Obs: Note que os coeficientes $a$ e $b$ são termos da Sequência de Fibonacci. Cada termo $a_{n}$ é dado por recorrência da seguinte forma:

$a_{1} = a_{2} = 1$
$a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ para $n ⩾ 3$

Ou seja,

$(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .)$

Podemos generalizar, portanto, as potências de $φ$ segundo os termos $a_{n}$ da sequência:

$φ^{n} = a_{n} \cdot φ + a_{n - 1}$

Questão 150 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Geometria Espacial

    O Atomium, representado na imagem, é um dos principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi construído em 1958 para a primeira grande exposição mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira Mundial de Bruxelas.
    Trata-se de uma estrutura metálica construída no formato de um cubo. Essa estrutura está apoiada por um dos vértices sobre uma base paralela ao plano do solo, e a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal ao plano da base. Centradas nos vértices desse cubo, foram construídas oito esferas metálicas, e uma outra esfera foi construída centrada no ponto de interseção das diagonais do cubo. As oito esferas sobre os vértices são interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se conecta a elas pelas diagonais do cubo.
    Todas essas interligações são feitas por tubos cilíndricos que possuem escadas em seu interior, permitindo o deslocamento de pessoas pela parte interna da estrutura. Na diagonal ortogonal à base, o deslocamento é feito por um elevador, que permite o deslocamento entre as esferas da base e a esfera do ponto mais alto, passando pela esfera central.

Considere um visitante que se deslocou pelo interior do Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor trajeto entre dois vértices, passando por todas as arestas e todas as diagonais do cubo.

Disponível em: http//trupedatnp.com. Acesso em: 25 out. 2019

A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representada por

a)
b)
c)
d)
e)

Resolução

Para visualizar a projeção ortogonal vamos usar um hexaedro regular (cubo) como o da imagem.

Suponha que estejamos vendo de um plano superior, ou seja como se o vértice que une as três faces coloridas fosse o vértice oposto ao vétice que está no plano do solo.

De fato é possível perceber que a projeção ortogonal terá uma forma hexagonal.

Para ilustrar as intersecções que ocorrem dentro do hexágono da projeção podemos imaginar a situação:

O que nos leva a figura da alternativa E.