Questão 149 Enem 2021 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 149

Aritmética

Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega $φ$ , e seu valor é dado pela solução positiva da equação $φ^{2} = φ + 1$ .
Assim como a potência $φ^{2}$ , as potências superiores de $φ$ podem ser expressas da forma $a φ + b$ , em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.

$φ^{2}$	$φ^{3}$	$φ^{4}$	$φ^{5}$	$φ^{6}$	$φ^{7}$
$φ + 1$	$2 φ + 1$	$3 φ + 2$	$5 φ + 3$	$8 φ + 5$	...

A potência $φ^{7}$ , escrita na forma $a φ + b$ (a e b são inteiros positivos), é

a)	$5 φ + 3$
b)	$7 φ + 2$
c)	$9 φ + 6$
d)	$11 φ + 7$
e)	$13 φ + 8$

Resolução

Primeira resolução:

Pela tabela podemos perceber que ao somar os coeficientes ( $a$ e $b$ ) de uma potência de $φ$ obtemos o coeficiente $a$ da potência seguinte e o coeficiente $b$ desta potência será dado pelo coeficiente $a$ da anterior,

Ou seja:

$φ^{n} = \underset{a_{n}}{\underset{⏟}{(a_{n - 1} + b_{n - 1})}} φ + \underset{b_{n}}{\underset{⏟}{a_{n - 1}}}$

Como $φ^{6} = 8 φ + 5$ , segue que:

$φ^{7} = (8 + 5) φ + 8$

$φ^{7} = 13 φ + 8$

Segunda resolução:

Para se obter a potência $φ^{n + 1}$ , basta multiplicar a sentença $φ^{n}$ por $φ$ , e utilizar a equação $φ^{2} = φ + 1$ , ou seja:

(i) $φ^{2} = φ + 1 \Rightarrow φ^{3} = φ^{2} + φ \Rightarrow φ^{3} = (φ + 1) + φ \Rightarrow φ^{3} = 2 φ + 1$

(ii) $φ^{3} = 2 φ + 1 \Rightarrow φ^{4} = 2 φ^{2} + φ \Rightarrow φ^{4} = 2 (φ + 1) + φ \Rightarrow φ^{4} = 3 φ + 2$

...

(v) $φ^{6} = 8 φ + 5 \Rightarrow φ^{7} = 8 φ^{2} + 5 φ \Rightarrow φ^{7} = 8 (φ + 1) + 5 φ \Rightarrow φ^{7} = 13 φ + 8$

Obs: Note que os coeficientes $a$ e $b$ são termos da Sequência de Fibonacci. Cada termo $a_{n}$ é dado por recorrência da seguinte forma:

$a_{1} = a_{2} = 1$
$a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ para $n ⩾ 3$

Ou seja,

$(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .)$

Podemos generalizar, portanto, as potências de $φ$ segundo os termos $a_{n}$ da sequência:

$φ^{n} = a_{n} \cdot φ + a_{n - 1}$