Enem 2021 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 161 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Porcentagem

Em um estudo realizado pelo IBGE em quatro estados e no Distrito Federal, com mais de 5 mil pessoas com 10 anos ou mais, observou-se que a leitura ocupa, em média, apenas seis minutos do dia de cada pessoa. Na faixa de idade de 10 a 24 anos, a média diária é de três minutos. No entanto, no grupo de idades entre 24 e 60 anos, o tempo médio diário dedicado à leitura é de 5 minutos. Entre os mais velhos, com 60 anos ou mais, a média é de 12 minutos.
A quantidade de pessoas entrevistadas de cada faixa de idade seguiu a distribuição percentual descrita no quadro.

Faixa etária	Percentual de entrevistados
De 10 a 24 anos	x
Entre 24 e 60 anos	y
A partir de 60 anos	x

Disponível em: www.oglobo.globo.com. Acesso em: 16 ago. 2013 (adaptado).

Os valores de x e y do quadro são, respectivamente, iguais a

a)	10 e 80.
b)	10 e 90.
c)	20 e 60.
d)	20 e 80.
e)	25 e 50.

Resolução

Pelo enunciado tem-se que a média é de 6 minutos por dia e a tabela abaixo nos fornece o percentual de entrevistado por faixa etária.

Faixa etária	Percentual de entrevistados
De 10 a 24 anos	x
Entre 24 e 60 anos	y
A partir de 60 anos	x

Pela tabela, tem-se que:

$x % + y % + x % = 100 % \Rightarrow 2 x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2 x$ ,

A média é dada por:

$\frac{3 \cdot 5000 \cdot x % + 5 \cdot 5000 \cdot y % + 12 \cdot 5000 \cdot x %}{5000} = 6 \Rightarrow 15 \frac{x}{100} + 5 \frac{y}{100} = 6 \Rightarrow$

$3 x + y = 120$ $(I)$

Logo,

$3 x + (100 - 2 x) = 120 \Rightarrow x = 20$ .

Substituindo o valor de $x$ em $(I)$ , concluímos que $y = 60$ .

Questão 162 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Razão e Proporção

    Um zootecnista pretende testar se uma nova ração para coelhos é mais eficiente do que a que ele vem utilizando atualmente. A ração atual proporciona uma massa média de 10 kg por coelho, com um desvio padrão de 1 kg, alimentado com essa ração durante um período de três meses.
    O zootecnista selecionou uma amostra de coelhos e os alimentou com a nova ração pelo mesmo período de tempo. Ao final, anotou a massa de cada coelho, obtendo um desvio padrão de 1,5 kg para a distribuição dessa amostra.
    Para avaliar a eficiência dessa ração, ele utilizará o coeficiente de variação (CV) que é uma medida de dispersão definida por $C V = \frac{s}{\bar{x}}$ , em que s representa o desvio padrão e $\bar{x}$ , a média das massas dos coelhos que foram alimentados com uma determinada ração.
    O zootecnista substituirá a ração que vinha utilizando pela nova, caso o coeficiente de variação da distribuição das massas dos coelhos que foram alimentados com a nova ração for menor do que o coeficiente de variação da distribuição das massas dos coelhos que foram alimentados com a ração atual.
A substituição da ração ocorrerá se a média da distribuição das massas dos coelhos da amostra, em quilograma, for superior a

a)	5,0.
b)	9,5.
c)	10,0.
d)	10,5.
e)	15,0.

Resolução

Analisando os dois coeficientes de variação (CV), temos:

(1° momento): ração atual

Veja que a massa média é de 10 kg por coelho e o desvio padrão é de 1 kg. Daí:

$C V_{1} = \frac{d e s v i o p a d r ã o}{m é d i a} = \frac{1}{10}$

(2° momento): nova ração

Veja que a massa média é de $m$ kg por coelho e o desvio padrão é de 1,5 kg. Daí:

$C V_{2} = \frac{d e s v i o p a d r ã o}{m é d i a} = \frac{1, 5}{m}$

Pelo enunciado, o zootecnista irá substituir a ração caso:

$C V_{2} < C V_{1}$

Portanto:

$\frac{1, 5}{m} < \frac{1}{10} \Rightarrow m > 15 k g$

Questão 163 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Equações e Inequações (Função Quadrática)

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo $∆$ e. estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por $x ∆ y = x^{2} + x y - y^{2}$ e $x * y = x y + x$ . O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação $(a ∆ b) * (b ∆ a) = 0$ . Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem "ATENÇÃO!''. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será:

a)	$\sqrt{5}$
b)	$\sqrt{3}$
c)	$\sqrt{1}$
d)	$\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$
e)	$\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Resolução

Para facilitar a resolução, podemos reescrever a operação estrela $*$ na forma

$x * y = x y + x = x \cdot (y + 1)$

Assim, temos a equação

$\begin{array}{rcl} (a ∆ b) * (b ∆ a) & = & 0 \\ (a^{2} + a b - b^{2}) * (b^{2} + b a - a^{2}) & = & 0 \\ (a^{2} + a b - b^{2}) \cdot (b^{2} + b a - a^{2} + 1) & = & 0 \end{array}$

Substituindo $b = 1$ , obtemos a seguinte equação

$(a^{2} + a \cdot 1 - 1^{2}) \cdot (1^{2} + 1 \cdot a - a^{2} + 1) = 0 (a^{2} + a - 1) \cdot (- a^{2} + a + 2) = 0$

Como o produto de dois números reais é nulo se, e somente se, ao menos um dos números reais for nulo, então, para calcular as raízes da equação acima basta calcular as raízes das equações

$a^{2} + a - 1 = 0$

$- a^{2} + a + 2 = 0$

Aplicando o método de Bháskara, a primeira equação fornece as raízes

$a = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 1} \Rightarrow a = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} ou a = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Para a segunda equação, encontramos as raízes

$a = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2} \Rightarrow a = 2 ou a = - 1$

Logo, as duas maiores raízes da equação original são $a = 2$ e $a = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ , de modo que a soma delas é

$2 + \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Questão 164 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Razão e Proporção

Um parque temático brasileiro construiu uma réplica em miniatura do castelo de Liechtenstein. O castelo original, representado na imagem, está situado na Alemanha e foi reconstruído entre os anos de 1840 e 1842, após duas destruições causadas por guerras.

O castelo possui uma ponte de 38,4 m de comprimento e 1,68 m de largura. O artesão que trabalhou para o parque produziu a réplica do castelo, em escala. Nessa obra, as medidas do comprimento e da largura da ponte eram, respectivamente, 160 cm e 7 cm.

A escala utilizada para fazer a réplica é:

a)	1 : 576
b)	1 : 240
c)	1 : 24
d)	1 : 4,2
e)	1 : 2,4

Resolução

Escrevendo as medidas da ponte em centímetros, temos $38, 4 m = 3.840 cm$ de comprimento e $1, 68 m = 168 cm$ de largura.

Sabendo então que a réplica foi feita em escala e que suas medidas eram $160 cm$ de comprimento e $7 cm$ de largura, temos a seguinte proporção:

$\frac{160}{3.840} = \frac{7}{168} = \frac{1}{24}$

Portanto, a escala utilizada para fazer a réplica é $1 : 24$ .

Questão 165 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Média Aritmética

A demografia médica é o estudo da população de médicos no Brasil nos aspectos quantitativo e qualitativo, sendo um dos seus objetivos fazer projeções sobre a necessidade da formação de novos médicos. Um desses estudos gerou um conjunto de dados que aborda a evolução do número de médicos e da população brasileira por várias décadas. O quadro apresenta parte desses dados.

Ano	Médicos	População brasileira (em milhar)
1990	219 000	147 000
2000	292 000	170 000
2010	365 000	191 000

Segundo uma projeção estatística, a variação do número de médicos e o da população brasileira de 2010 para 2020 será a média entre a variação de 1990 para 2000 e a de 2000 para 2010. Com o resultado dessa projeção, determina-se o número de médicos por mil habitantes no ano de 2020.

Disponível em: www.cremesp.org.br. Acesso em: 24 jun. 2015 (adaptado).

O número, com duas casas na parte decimal, mais próximo do número de médicos por mil habitantes no ano de 2020 seria de:

a)	0,17.
b)	0,49.
c)	1,71.
d)	2,06.
e)	3,32.

Resolução

Observação: Ainda que a utilização do termo média seja usualmente associada à média aritmética, acreditamos que, ao solicitar o cálculo de uma média, o enunciado deveria ser claro com respeito a qual média deve ser utilizada (aritmética, geométrica, harmônica).

A variação do número de médicos de 1990 para 2000 foi de

$292.000 - 219.000 = 73.000 médicos$

enquanto a variação do número de médicos de 2000 para 2010 foi de

$365.000 - 292.000 = 73.000 médicos$

Como ambas as variações são iguais, qualquer que seja a média aplicada, ela será igual aos dois valores.

Então, pela projeção estatística, o número de médicos em 2020 seria um total de

$365.000 + 73.000 = 438.000 médicos$

Analogamente, a variação da população brasileira de 1990 para 2000, em milhar de habitantes, foi de

$170.000 - 147.000 = 23.000$

Já a variação da população brasileira de 2000 para 2010, em milhar de habitantes, foi de

$191.000 - 170.000 = 21.000$

Logo, a média aritmética da variação da população brasileira nos dois períodos, em milhar de habitantes, foi de

$\frac{23.000 + 21.000}{2} = 22.000$

Novamente pela projeção estatística, a população brasileira em 2020, em milhar de habitantes, seria de

$191.000 + 22.000 = 213.000$

Portanto, o número de médicos por mil habitantes no ano de 2020, segundo a projeção estatística, seria, aproximadamente,

$\frac{438.000}{213.000} \approx 2, 06$

Questão 166 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Matrizes

Uma construtora, pretendendo investir na construção de imóveis em uma metrópole com cinco grandes regiões fez uma pesquisa sobre a quantidade de famílias que mudaram de uma região para outra, de modo a determinar qual região foi o destino do maior fluxo de famílias, sem levar em consideração o número de famílias que deixaram a região. Os valores da pesquisa estão dispostos em uma matriz $A = [a_{i j}]$ , $i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , em que o elemento $a_{i j}$ corresponde ao total de famílias (em dezena) que se mudaram da região i para a região j durante um certo período, e o elemento $a_{i i}$ é considerado nulo, uma vez que somente são consideradas mudanças entre regiões distintas. A seguir, está apresentada a matriz com os dados da pesquisa.

$A = [\begin{matrix} 0 & 4 & 2 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 6 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 4 & 0 \end{matrix}]$

Qual região foi selecionada para o investimento da construtora?

a)	1
b)	2
c)	3
d)	4
e)	5

Resolução

Para determinar o número de dezenas de famílias que se mudaram para a região $j$ , devemos somar todos os elementos pertencentes à coluna $j$ .

O número de dezenas de famílias que se mudaram para a região 1 é dado pela soma dos elementos:

$a_{11} + a_{21} + a_{31} + a_{41} + a_{51} = 0 + 0 + 2 + 1 + 1 = 4$

Analogamente, para a região 2:

$4 + 0 + 2 + 0 + 2 = 8$

Região 3:

$2 + 6 + 0 + 2 + 0 = 10$

Região 4:

$2 + 2 + 3 + 0 + 4 = 11$

Região 5:

$5 + 3 + 0 + 4 + 0 = 12$

A região 5 foi destino do maior fluxo de famílias.

Questão 167 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Grandezas Diretamente Proporcionais Porcentagem

Para realizar um voo entre duas cidades que distam 2 000 km uma da outra, uma companhia aérea utilizava um modelo de aeronave A, capaz de transportar até 200 passageiros. Quando uma dessas aeronaves está lotada de passageiros, o consumo de combustível é de 0,02 litro por quilômetro e por passageiro. Essa companhia resolveu trocar o modelo de aeronave A pelo modelo de aeronave B, que é capaz de transportar 10 $%$ de passageiros a mais do que o modelo A, mas consumindo 10 $%$ menos combustível por quilómetro e por passageiro.

A quantidade de combustível consumida pelo modelo de aeronave B, em relação à do modelo de aeronave A, em um voo lotado entre as duas cidades, é:

a)	10 $%$ menor.
b)	1 $%$ menor.
c)	igual.
d)	1 $%$ maior.
e)	11 $%$ maior.

Resolução

Seja $c$ o consumo de combustível por quilômetro e por passageiro e $n$ a quantidade máxima de passageiros de um modelo de aeronave A. O consumo de combustível $C$ por quilômetro desse modelo é dado por:

$C = c \cdot n$

Sabendo que um modelo de aeronave B tem consumo de combustível por quilômetro e por passageiro:

$c' = (100 % - 10 %) \cdot c = 0, 9 \cdot c$

e quantidade máxima de passageiros:

$n' = (100 % + 10 %) \cdot n = 1, 1 \cdot n$

Temos que o consumo de combustível $C'$ por quilômetro de um modelo de aeronave B é dado por:

$C' = c' \cdot n' = 0, 9 \cdot c \cdot 1, 1 \cdot n$

Segue a relação:

$\frac{C'}{C} = \frac{0, 9 \cdot c \cdot 1, 1 \cdot n}{c \cdot n} = 0, 99 ∴ C' = 0, 99 \cdot C$

Portanto, para voos de mesma distância, o consumo de combustível de um modelo de aeronave B é 99% do consumo de um modelo de aeronave A. Isto é, o consumo é 1% menor.

Questão 168 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Grandezas Inversamente Proporcionais

Em uma corrida automobilística, os carros podem fazer paradas nos boxes para efetuar trocas de pneus. Nessas trocas, o trabalho é feito por um grupo de três pessoas em cada pneu. Considere que os grupos iniciam o trabalho no mesmo instante, trabalham à mesma velocidade e cada grupo trabalha em um único pneu. Com os quatro grupos completos, são necessários 4 segundos para que a troca seja efetuada. O tempo gasto por um grupo para trocar um pneu é inversamente proporcional ao número de pessoas trabalhando nele. Em uma dessas paradas, um dos trabalhadores passou mal, não pôde participar da troca e nem foi substituído, de forma que um dos quatro grupos de troca ficou reduzido.

Nessa parada específica, com um dos grupos reduzido, qual foi o tempo gasto, em segundo, para trocar os quatro pneus?

a)	6,0
b)	5,7
c)	5,0
d)	4,5
e)	4,4

Resolução

Note que cada grupo trabalha em um único pneu e todos os grupos trabalham simultaneamente. Portanto, o tempo gasto para trocar os quatro pneus é o maior tempo gasto entre os grupos para finalizar a troca dos respectivos pneus.

A relação entre o número de pessoas e o tempo gasto para realizar a troca de pneu está ilustrada na tabela a seguir:

Número de pessoas	Tempo para troca (em segundos)
3	4
2	$x$

Como as grandezas são inversamente proporcionais, segue:

$\frac{3}{2} = \frac{x}{4} \Leftrightarrow x = 6$

Segue que o tempo gasto para a troca dos pneus foi de 6 segundos.

Questão 169 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Grandezas Diretamente Proporcionais

Um nutricionista verificou, na dieta diária do seu cliente, a falta de 800 mg do mineral A, de 1000 mg do mineral B e de 1200 mg do mineral C. Por isso, recomendou a compra de suplementos alimentares que forneçam os minerais faltantes e informou que não haveria problema se consumisse mais desses minerais do que o recomendado.

O cliente encontrou cinco suplementos, vendidos em sachês unitários, cujos preços e as quantidades dos minerais estão apresentados a seguir:

Suplemento I: contém 50 mg do mineral A, 100 mg do mineral B e 200 mg do mineral C e custa R$ 2,00;
Suplemento II: contém 800 mg do mineral A, 250 mg do mineral B e 200 mg do mineral C e custa R$ 3,00;
Suplemento III: contém 250 mg do mineral A, 1000 mg do mineral B e 300 mg do mineral C e custa R$ 5,00;
Suplemento IV: contém 600 mg do mineral A, 500 mg do mineral B e 1000 mg do mineral C e custa R$ 6,00;
Suplemento V: contém 400 mg do mineral A, 800 mg do mineral B e 1200 mg do mineral C e custa R$ 8,00.

O cliente decidiu comprar sachês de um único suplemento no qual gastasse menos dinheiro e ainda suprisse a falta de minerais indicada pelo nutricionista, mesmo que consumisse alguns deles além de sua necessidade.

Nessas condições, o cliente deverá comprar sachês do suplemento:

a)	I.
b)	II.
c)	III.
d)	IV.
e)	V.

Resolução

Dado um certo suplemento, devemos calcular a quantidade mínima de sachês para atingir a quantidade mínima de cada mineral.

Por exemplo, considerando o suplemento I:

Para o mineral A, são necessários no mínimo $\frac{800 g}{50 g} = 16$ sachês.

Para o mineral B, são necessários no mínimo $\frac{1000 g}{100 g} = 10$ sachês.

Para o mineral C, são necessários no mínimo $\frac{1200 g}{200 g} = 6$ sachês.

Então, são necessários 16 sachês do suplemento I.

Analogamente para os demais suplementos, construímos a seguinte tabela relacionando os suplementos e a quantidade mínima de sachês unitários para atingir o consumo necessário de cada mineral:

	Mineral A	Mineral B	Mineral C	Quantidade mínima
Suplemento I	16	10	6	16
Suplemento II	1	4	6	6
Suplemento III	4	1	4	4
Suplemento IV	2	2	2	2
Suplemento V	2	2	1	2

Multiplicando os preços dos sachês unitários de cada suplemento, obtemos os seguintes gastos:

Suplemento	Gasto em reais
Suplemento I	32
Suplemento II	18
Suplemento III	15
Suplemento IV	12
Suplemento V	16

Portanto, o menor gasto é atingido na compra de sachês do suplemento IV.

Questão 170 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Porcentagem

Um atleta produz sua própria refeição com custo fixo de R$ 10,00. Ela é composta por 400 g de frango, 600 g de batata-doce e uma hortaliça. Atualmente, os preços dos produtos para essa refeição são:

Refeição	Frango (kg)	Batata-doce (kg)	Hortaliças (unidade)
Refeição	R$ 12,50	R$ 5,00	R$ 2,00

Em relação a esses preços, haverá um aumento de 50 $%$ no preço do quilograma de batata-doce, e os outros preços não serão alterados. O atleta deseja manter o custo da refeição, a quantidade de batata-doce e a hortaliça. Portanto, terá que reduzir a quantidade de frango.

Qual deve ser a redução percentual da quantidade de frango para que o atleta alcance seu objetivo?

a)	12,5
b)	28,0
c)	30,0
d)	50,0
e)	70,0

Resolução

Como o preço do quilograma de batata-doce tem um aumento de 50%, então seu novo valor será:

$↑ 50 % d e R $ 5, 00 = 1, 5 \cdot 5 = R $ 7, 50$

Considerando $x$ a nova quantidade, em kg, de frango que esse atleta irá consumir, temos:

$\underset{f r a n g o}{\underset{⏟}{x \cdot 12, 5}} + \overset{b a t a t a - d o c e}{\overset{⏞}{7, 5 \cdot 0, 6}} + \underset{h o r t a l i ç a}{\underset{⏟}{2}} = 10 \Rightarrow x = 0, 28 k g o u 280 g$

Daí, a redução percentual é dada por:

$(\frac{V_{f i n a l}}{V_{i n i c i a l}} - 1) \cdot 100 % = (\frac{280}{400} - 1) \cdot 100 % = - 30 %$