Enem 2021 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

O gráfico aponta que as quatro letras com maior frequência na obra O Guarani são, em ordem decrescente:

A, E, O e S

Para codificá-las devemos substituí-las pelas respectivas letras, segundo a tabela, que estão três posições (casas) adiante, ou seja:

A  $\to$ D

E  $\to$ H

O $\to$ R

S  $\to$ V

Portanto, alternativa C.

Para determinar o valor da mediana, é preciso colocar as magnitudes em ordem crescente (ou decrescente): 

$\left(11, 11, 12, 13, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 20, 24\right)$

Desse modo, existem 12 valores, como o número de amostras é par, então, a mediana é a média entre os valores centrais, ou seja:

$Md=\frac{x_6+x_7}{2}=\frac{15+16}{2}=\boxed{15,5}$

Através do gráfico fornecido no enunciado, observamos que o mês no qual a empresa obteve maior lucro até o mês de maio, foi o mês de fevereiro, cujo lucro foi de $10$ milhões de reais.

Tal valor é superior aos lucros obtidos em janeiro ($5$ milhões de reais), março ($5$ milhões de reais), abril ($5$ milhões de reais) e maio ($3$ milhões de reais)

Como a previsão para os próximos meses é que o lucro mensal não seja inferior ao maior lucro obtido até o mês de maio, o lucro dos próximos meses deverá ser maior ou igual ao do mês de fevereiro ($10$ milhões de reais).

Tal lucro também será maior do que os lucros obtidos nos meses de janeiro, março, abril e maio e, como a alternativa solicita um lucro maior ou igual, basta o lucro ser maior para que satisfaça a condição, tornando todas as alternativas corretas. Sendo assim, sugerimos a anulação da questão.

Para determinar o aumento percentual, calculamos a seguinte variação percentual:

$\left(\frac{V_{2009}}{V_{2005}}-1\right)·100\%=\left(\frac{519,2}{236}-1\right)·100\%=\left(2,2-1\right)·100\%=120\%$

Portanto, o aumento percentual foi de 120%. 

Com base no histograma, temos a seguinte tabela:

Buscamos a mediana desta distribuição. Como o total de anúncios é:

$5 +10+5+15+20+15+15+10+5+5=105$

Então, o valor mediano seria descrito como o valor do 53º imóvel, considerando-se uma sequência ordenada dos imóveis com preços crescentes. Precisamos garantir que pelo menos 53 imóveis tenham preços inferiores a p, já que necessitamos que pelo menos 50% dos imóveis tenham preços inferiores a p.

Para calcularmos a mediana de dados agrupados em um histograma é necessário observarmos a área e, portanto, a base dos retângulos de cada uma das classes e fazermos uma proporção. Observe a imagem abaixo.

A área pintada em rosa corresponde à metade (50%) da área total do histograma.

Note que a classe na qual a mediana pertence é a classe que se inicia com valores iguais a 700 e se encerra com valores iguais a 800. Assim, temos:

$\frac{Me-700}{{\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{7}{21}}}=\frac{800-700}{{\displaystyle \frac{11}{21}-\frac{7}{21}}}\Rightarrow \frac{{\displaystyle Me-700}}{{\displaystyle \frac{1}{6}}}=\frac{{\displaystyle 100}}{{\displaystyle \frac{4}{21}}}\Rightarrow Me-700=\frac{{\displaystyle 2100}}{24}\Rightarrow Me=787,5$

Deste modo, para garantirmos que há pelo menos 50% dos imóveis com preços menores que p, então p deve ser estritamente maior que a mediana calculada. Assim,

$p>787,5\Rightarrow \boxed{p=\text{R\$ 787.500,01}}$

Portanto, sugerimos anulação da questão por não existir a resposta dentre as alternativas indicadas.

Nitidamente, o ENEM gostaria que o candidato assinalasse a alternativa C, porém, como observado acima, a resposta não é 800, visto que os dados estão agrupados em classes. Cabe ressaltar, ainda, que segundo a matriz de referência disponibilizada pelo INEP (https://download.inep.gov.br/download/enem/matriz_referencia.pdf) em sua página 7, a Competência 7 e habilidade 27 explicita “Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos.”. Ou seja, além de não existir alternativa correta nesta questão, o edital é claro quanto a não cobrar dados dispostos em classes no exame, sendo essa mais uma justificativa para anulação da questão.

Pelo enunciado, percebemos o seguinte padrão do número de pessoas em relação ao desconto $x$, em reais, feito pelo administrador:

Para verificarmos a arrecadação, temos:

$Arrecadação = preço do ingresso·número de pessoas$

Isto é:

$A\left(x\right)=\left(20-x\right)·\left(200+40x\right)=-40x^2+600x+4000$

Desse modo, temos que a arrecadação, em função de $x$, é expressa por um polinômio de 2° grau. Assim, concluímos que é uma função quadrática, sendo o gráfico uma parábola.

Porém, é importantíssimo perceber no enunciado que os donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros para ingressos. Ou seja: os descontos fornecidos são sempre números inteiros não negativos $\left(x\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}\right)$.

Portanto, com o domínio da função sendo restrito aos números inteiros não negativos com imagem positiva, a única alternativa que condiz com esse domínio é o da alternativa E.

Cada placa irá conter o nome do time, o brasão e o ano do título, logo uma placa é diferente de todas as outras por ao menos o ano do título.

Pelo quadro fornecido tem-se:

Títulos de times gaúchos: $5 \left(\mathrm{Grêmio}\right)+1\left(\mathrm{Internacional}\right)+1\left(\mathrm{Juventude}\right)=7 \mathrm{títulos}$

Títulos de times cariocas: $3 \left(\mathrm{Flamengo}\right)+1\left(\mathrm{Vasco}\right)+1\left(\mathrm{Fluminense}\right)=5 \mathrm{títulos}$

Títulos de times mineiros: $6 \left(\mathrm{Cruzeiro}\right)+1(\mathrm{Atlético}-\mathrm{MG})=7 \mathrm{títulos}$

Títulos de times paulistas:  $3 \left(\mathrm{Cor}\right)+3 \left(\mathrm{Pal}\right)+1 \left(\mathrm{San}\right)+1 \left(\mathrm{Paul}\right)+1 \left(\mathrm{STA}\right)=9 \mathrm{títulos}$

Agora vamos admitir que a ordem em cada linha importa:

Linha 1, apenas times gaúchos: $A_7^5=\frac{7!}{\left(7-5\right)!}=\frac{7!}{2!}$

Linha 2, apenas times cariocas: $A_5^5=5!$

Linha 3, apenas times mineiros: $A_7^5=\frac{7!}{\left(7-5\right)!}=\frac{7!}{2!}$

Linha 4, apenas times paulistas: $A_9^5=\frac{9!}{\left(9-5\right)!}=\frac{9!}{4!}$

Linha 5 e 6, as 10 placas restantes: $P_{10}=10!$

Logo, $\frac{7!}{2!}·5!·\frac{7!}{2!}·\frac{9!}{4!}·10!$, não há alternativa com esse resultado.

Por outro lado, podemos admitir que a ordem em cada linha não diferencia um painel do outro, assim:

Linha 1, apenas times gaúchos: $C_7^5=\frac{7!}{5!\left(7-5\right)!}=\frac{7!}{5!2!}$

Linha 2, apenas times cariocas: $C_5^5=\frac{5!}{5!\left(5-5\right)!}=1$

Linha 3, apenas times mineiros: $C_7^5=\frac{7!}{5!\left(7-5\right)!}=\frac{7!}{5!2!}$

Linha 4, apenas times paulistas: $C_9^5=\frac{9!}{5!\left(9-5\right)!}=\frac{9!}{5!4!}$

Linha 5,escolha de 5 das 10 placas restantes: $C_{10}^5=\frac{10!}{5!\left(10-5\right)!}=\frac{10!}{5!5!}$

Linha 6, as 5 placas que restaram: $C_5^5=\frac{5!}{5!\left(5-5\right)!}=1$.

Logo, $\frac{7!}{5!2!}·\frac{7!}{5!2!}·\frac{9!}{5!4!}·\frac{10!}{5!5!}$, também não há alternativa com esse resultado.

Portanto sugerimos a anulação dessa questão.

Para cada intervalo monta-se seu respectivo gráfico:

(i) Para $R\le 5000, I\left(R\right)=0$.

(ii) Para $5000<R\le 10000, I\left(R\right)=10\%\left(R-5000\right)=0,1·R-500$.

(ii) Para $10000<R\le 15000, I\left(R\right)=500+30\%\left(R-10000\right)=0,3·R-2500$.

Unindo os três gráficos, temos a seguinte representação:

Portanto, a alternativa correta é a A.

Para verificar o reservatório com o maior volume de água, precisamos calcular o nível de ocupação de cada um deles:

(I) $V_I=20\% de 105 bilhões de L=0,2·105·{10}^9=21·{10}^9 L$

(II) $V_{II}=30\% de 100 bilhões de L=0,3·100·{10}^9=30·{10}^9 L$

(III) $V_{III}=50\% de 20 bilhões de L=0,5·20·{10}^9=10·{10}^9 L$

(IV) $V_{IV}=40\% de 80 bilhões de L=0,4·80·{10}^9=32·{10}^9 L$

(V) $V_V=60\% de 40 bilhões de L=0,6·40·{10}^9=24·{10}^9 L$

Portanto, o reservatório que tem o maior volume é o reservatório IV.

Pelo gráfico, identificamos que:

(1) 6 alunos têm 9 anos;

(2) 9 alunos têm 27 anos;

(3) 12 alunos têm 18 anos.

Assim, a média das idades é dada por:

$\overline{x}=\frac{9·6+18·12+27·9}{6+12+9}=\frac{9·57}{9·3}=\boxed{19 \mathrm{anos}}$