Questão 157 Enem 2021 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 157

Análise Combinatória

A Copa do Brasil teve, até a edição de 2018, 15 times diferentes como campeões da competição, conforme apresentado na imagem. Suponha que, como homenagem aos times campeões, a Confederação Brasileira de Futebol (CBF) pretenda colocar um painel na sua sede. Esse painel teria 6 linhas e, em cada uma delas, 5 placas, referentes a cada edição da competição, com o nome do time vencedor, o brasão e o ano do titulo. O painel deve ser fabricado de modo que a primeira linha só tenha clubes gaúchos (Internacional, Grêmio e Juventude); a segunda, apenas times cariocas (Flamengo, Vasco e Fluminense); a terceira, somente times mineiros (Cruzeiro e Atlético Mineiro); a quarta, exclusivamente clubes paulistas (Corinthians, Palmeiras, Santos, Paulista FC, Santo André), e as duas últimas sem nenhuma restrição.

Disponível em: http://cempeoesdofutebol.com.br. Acesso em: 1 nov. 2018 (adaptado)

Qual expressão determina a quantidade de painéis diferentes que a CBF poderá montar?

a)	$\frac{7!}{5!} \cdot \frac{5!}{3!} \cdot \frac{7!}{6!} \cdot \frac{9!}{3! \cdot 3!} \cdot 10!$
b)	$7! \cdot 5! \cdot 7! \cdot 9! \cdot 10!$
c)	$30!$
d)	$\frac{7!}{5! \cdot 5!} \cdot \frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot \frac{9!}{5! \cdot 4!}$
e)	$\frac{9!}{3!} \cdot 5! \cdot \frac{7!}{2!} \cdot \frac{9!}{4!} \cdot 10!$

Resolução Sugerimos anulação

Cada placa irá conter o nome do time, o brasão e o ano do título, logo uma placa é diferente de todas as outras por ao menos o ano do título.

Pelo quadro fornecido tem-se:

Títulos de times gaúchos: $5 (Grêmio) + 1 (Internacional) + 1 (Juventude) = 7 títulos$

Títulos de times cariocas: $3 (Flamengo) + 1 (Vasco) + 1 (Fluminense) = 5 títulos$

Títulos de times mineiros: $6 (Cruzeiro) + 1 (Atlético - MG) = 7 títulos$

Títulos de times paulistas: $3 (Cor) + 3 (Pal) + 1 (San) + 1 (Paul) + 1 (STA) = 9 títulos$

Agora vamos admitir que a ordem em cada linha importa:

Linha 1, apenas times gaúchos: $A_{7}^{5} = \frac{7!}{(7 - 5)!} = \frac{7!}{2!}$

Linha 2, apenas times cariocas: $A_{5}^{5} = 5!$

Linha 3, apenas times mineiros: $A_{7}^{5} = \frac{7!}{(7 - 5)!} = \frac{7!}{2!}$

Linha 4, apenas times paulistas: $A_{9}^{5} = \frac{9!}{(9 - 5)!} = \frac{9!}{4!}$

Linha 5 e 6, as 10 placas restantes: $P_{10} = 10!$

Logo, $\frac{7!}{2!} \cdot 5! \cdot \frac{7!}{2!} \cdot \frac{9!}{4!} \cdot 10!$ , não há alternativa com esse resultado.

Por outro lado, podemos admitir que a ordem em cada linha não diferencia um painel do outro, assim:

Linha 1, apenas times gaúchos: $C_{7}^{5} = \frac{7!}{5! (7 - 5)!} = \frac{7!}{5! 2!}$

Linha 2, apenas times cariocas: $C_{5}^{5} = \frac{5!}{5! (5 - 5)!} = 1$

Linha 3, apenas times mineiros: $C_{7}^{5} = \frac{7!}{5! (7 - 5)!} = \frac{7!}{5! 2!}$

Linha 4, apenas times paulistas: $C_{9}^{5} = \frac{9!}{5! (9 - 5)!} = \frac{9!}{5! 4!}$

Linha 5,escolha de 5 das 10 placas restantes: $C_{10}^{5} = \frac{10!}{5! (10 - 5)!} = \frac{10!}{5! 5!}$

Linha 6, as 5 placas que restaram: $C_{5}^{5} = \frac{5!}{5! (5 - 5)!} = 1$ .

Logo, $\frac{7!}{5! 2!} \cdot \frac{7!}{5! 2!} \cdot \frac{9!}{5! 4!} \cdot \frac{10!}{5! 5!}$ , também não há alternativa com esse resultado.

Portanto sugerimos a anulação dessa questão.