Enem 2021 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 171 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

função Cosseno

Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura à direita representa o gráfico da posição P (em cm) da massa m em função do tempo t (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo $P (t) = \pm A \cos (ω t)$ ou $P (t) = \pm A sen (ω t)$ , em que $A > 0$ é a amplitude de deslocamento máximo e $ω$ é a frequência, que se relaciona com o período T pela fórmula $ω = \frac{2 π}{T}$ .

Considere a ausência de quaisquer forças dissipativas.

A expressão algébrica que representa as posições $P (t)$ da massa m, ao longo do tempo, no gráfico, é:

a)	$- 3 \cos (2 t)$
b)	$- 3 sen (2 t)$
c)	$3 \cos (2 t)$
d)	$- 6 \cos (2 t)$
e)	$6 sen (2 t)$

Resolução

A amplitude do gráfico de uma função do tipo $P (t) = \pm A \cos (ω t)$ ou $P (t) = \pm A sen (ω t)$ pode ser calculada como metade da variação total dessa função. Assim, analisando o gráfico fornecido, observamos que a função varia de $- 3$ até $3$ , de modo que

$A = \frac{3 - (- 3)}{2} = 3$

Observamos também que a função $P (t)$ possui período $T = π$ . Logo, concluímos que

$ω = \frac{2 π}{π} = 2$

Finalmente, notamos que $P (0) = - 3$ . Ora, como $sen (2 \cdot 0) = 0$ e $\cos (2 \cdot 0) = 1$ , a única expressão de $P (t)$ cujo gráfico é aquele presente no enunciado é

$P (t) = - 3 \cos (2 t)$

Questão 172 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Razão e Proporção

A relação de Newton-Laplace estabelece que o módulo volumétrico de um fluido é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade do som (em metro por segundo) no fluido e à sua densidade (em quilograma por metro cúbico), com uma constante de proporcionalidade adimensional.

Nessa relação, a unidade de medida adequada para o módulo volumétrico é:

a)	$k g \cdot m^{- 2} \cdot s^{- 1}$
b)	$k g \cdot m^{- 1} \cdot s^{- 2}$
c)	$k g \cdot m^{- 5} \cdot s^{2}$
d)	$k g^{- 1} \cdot m^{1} \cdot s^{2}$
e)	$k g^{- 1} \cdot m^{5} \cdot s^{- 2}$

Resolução

Denotando por $K$ o módulo volumétrico de um fluido, $v$ a velocidade do som e $d$ a densidade, podemos concluir, pelo enunciado, que:

$\frac{K}{v^{2} \cdot d} = k$ , sendo $k$ a constante de proporcionalidade.

Assim, temos:

$K = k \cdot v^{2} \cdot d$

Fazendo a análise dimensional:

$[K] = [v^{2}] \cdot [d] = [\frac{m^{2}}{s^{2}}] \cdot [\frac{k g}{m^{3}}] = \frac{k g}{s^{2} \cdot m} o u k g \cdot s^{- 2} \cdot m^{- 1}$

Questão 173 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Sistemas Lineares

Uma pessoa pretende viajar por uma companhia aérea que despacha gratuitamente uma mala com até 10 kg.

Em duas viagens que realizou, essa pessoa utilizou a mesma mala e conseguiu 10 kg com as seguintes combinações de itens:

Viagem	Camisetas	Calças	Sapatos
I	12	4	3
II	18	3	2

Para ter certeza de que sua bagagem terá massa de 10 kg, ela decide levar essa mala com duas calças, um sapato e o máximo de camisetas, admitindo que itens do mesmo tipo têm a mesma massa.

Qual a quantidade máxima de camisetas que essa pessoa poderá levar?

a)	22
b)	24
c)	26
d)	33
e)	39

Resolução

Considere $x$ , $y$ e $z$ as massas, em kg, de uma camiseta, uma calça e um sapato, respectivamente. Assim:

(1) VIAGEM I: $12 x + 4 y + 3 z = 10$

(2) VIAGEM II: $18 x + 3 y + 2 z = 10$

(3) PRÓXIMA VIAGEM: essa pessoa decide levar k camisetas, 2 calças e 1 sapato:

$k x + 2 y + 1 z = 10$

Veja que temos um sistema linear:

${\begin{matrix} 12 x + 4 y + 3 z = 10 \\ 18 x + 3 y + 2 z = 10 \\ k x + 2 y + z = 10 \end{matrix} \begin{matrix} \times 2 \end{matrix} ~ {\begin{matrix} 12 x + 4 y + 3 z = 10 \\ 36 x + 6 y + 4 z = 20 \\ k x + 2 y + z = 10 \end{matrix}$

Subtraindo a segunda equação pela primeira:

${\begin{matrix} 12 x + 4 y + 3 z = 10 \\ 24 x + 2 y + z = 10 \\ k x + 2 y + z = 10 \end{matrix}$

Observe que, a menos do fator que multiplica $x$ , a segunda e a terceira equações são idênticas, portanto, o máximo é de 24 camisetas.

Questão 174 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Razão e Proporção

Um automóvel apresenta um desempenho médio de $16 k m / L$ . Um engenheiro desenvolveu um novo motor a combustão que economiza, em relação ao consumo do motor anterior, 0,1 L de combustível a cada 20 km percorridos.

O valor do desempenho médio do automóvel com o novo motor, em quilômetro por litro, expresso com uma casa decimal, é:

a)	15,9.
b)	16,1.
c)	16,4.
d)	17,4.
e)	18,0.

Resolução

Sabendo que esse automóvel apresenta um desempenho médio de $16 k m / L$ , podemos encontrar o consumo em $20 k m$ para que consigamos comparar com o novo motor. Então:

$16 k m_______1 L 20 k m_______v ∴ v = 1, 25 L$

Como o novo motor economiza $0, 1 L$ em $20 k m$ , então:

$d e s e m p e n h o = \frac{20 k m}{(1, 25 - 0, 1) L} = \frac{20}{1, 15} \approx 17, 4 k m / L$

Questão 175 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Paralelepípedo

O projeto de um contêiner, em forma de paralelepípedo reto retangular, previa a pintura dos dois lados (interno e externo) de cada uma das quatro paredes com tinta acrílica e a pintura do piso interno com tinta epóxi. O construtor havia pedido, a cinco fornecedores diferentes, orçamentos das tintas necessárias, mas, antes de iniciar a obra, resolveu mudar o projeto original, alterando o comprimento e a largura para o dobro do originalmente previsto, mantendo inalterada a altura. Ao pedir novos orçamentos aos fornecedores, para as novas dimensões, cada um deu uma resposta diferente sobre as novas quantidades de tinta necessárias.

Em relação ao previsto para o projeto original, as novas quantidades de tinta necessárias informadas pelos fornecedores foram as seguintes:

Fornecedor I: "O dobro, tanto para as paredes quanto para o piso."
Fornecedor II: "O dobro para as paredes e quatro vezes para o piso."
Fornecedor III: "Quatro vezes, tanto para as paredes quanto para o piso."
Fornecedor IV: "Quatro vezes para as paredes e o dobro para o piso."
Fornecedor V: "Oito vezes para as paredes e quatro vezes para o piso."

Analisando as informações dos fornecedores, o construtor providenciará a quantidade adequada de material. Considere a porta de acesso do contêiner como parte de uma das paredes.

Qual dos fornecedores prestou as informações adequadas, devendo ser o escolhido pelo construtor para a aquisição do material?

a)	I
b)	II
c)	III
d)	IV
e)	V

Resolução

Vamos supor que contêiner em questão apresenta as seguintes dimensões:

A área a ser pintada (pintura dos dois lados (interno e externo) de cada uma das quatro paredes com tinta acrílica e a pintura do piso interno com tinta epóxi) é dada por:

$A_{P a r e d e s} = \underset{I n t e E x t}{\underset{⏟}{2}} \cdot (2 a c + 2 b c) = 4 \cdot (a c + b c)$

$A_{P i s o} = a b$

Com a mudança do projeto, temos as novas áreas:

$A'_{P a r e d e s} = \underset{I n t e E x t}{\underset{⏟}{2}} \cdot (2 (2 a) c + 2 (2 b) c) = 8 \cdot (a c + b c)$

$A'_{P i s o} = (2 a) (2 b) = 4 \cdot a b$

Perceba que:

$A'_{P a r e d e s} = 2 \cdot A_{P a r e d e s}$

$A'_{P i s o} = 4 \cdot A_{P i s o}$

Ou seja:

"O dobro para as paredes e quatro vezes para o piso."

O que nos leva ao Fornecedor II.

Questão 176 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Geometria Espacial

Um povoado com 100 habitantes está passando por uma situação de seca prolongada e os responsáveis pela administração pública local decidem contratar a construção de um reservatório. Ele deverá ter a forma de um cilindro circular reto, cuja base tenha 5 metros de diâmetro interno, e atender à demanda de água da população por um período de exatamente sete dias consecutivos. No oitavo dia, o reservatório vazio é completamente reabastecido por carros-pipa.

Considere que o consumo médio diário por habitante é de 120 litros de água. Use 3 como aproximação para $π$ . Nas condições apresentadas, o reservatório deverá ser construido com uma altura interna mínima, em metro, igual a

a)	1,12.
b)	3,10.
c)	4,35.
d)	4,48.
e)	5,60.

Resolução

Com o total de 100 habitantes consumindo 120 litros por dia, a quantidade necessária de água para abastecê-los por uma semana (7 dias) é de:

$100 \cdot 120 \cdot 7 (litros) = 84000 L$

Ou ainda, $\frac{84000}{1000} L = 84 m^{3}$

Desta forma, seja $H$ a altura mínima do reservatório. Por se tratar de um cilindro, podemos escrever:

$π \cdot {(\frac{5}{2})}^{2} \cdot H = 84 \Leftrightarrow$
$\frac{3 \cdot 25}{4} \cdot H = 84 \Leftrightarrow$
$H = \frac{84 \cdot 4}{75} \Leftrightarrow$
$H = 4, 48 m$

Questão 177 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Geometria Espacial Poliedros Convexos

Num octaedro regular, duas faces são consideradas opostas quando não têm nem arestas, nem vértices em comum. Na figura observa-se um octaedro regular e uma de suas planificações, na qual há uma face colorida na cor cinza escuro e outras quatro faces numeradas.

Qual(is) face(s) ficará(ão) oposta(s) à face de cor cinza escuro, quando o octaedro for reconstruído a partir da planificação dada?

a)	1, 2, 3 e 4
b)	1 e 3
c)	1
d)	2
e)	4

Resolução

O octaedro planificado do enunciado é da seguinte forma:

Vamos pensar em "fechá-lo" para obter o octaedro. Precisamos identificar qual face das numeradas de 1 a 4 não terá nenhum vértice e nenhuma aresta em comum com a face destacada:

Perceba que os lados destacados a seguir, quando fecharmos o octaedro, irão compor uma aresta do octaedro:

Além disso o vértice destacado também irá coincidir, inviabilizado as faces numeradas com 1, 2 e 3 de serem opostas a face destacada com o cinza escuro. Assim podemos concluir que a face oposta será a face com número 4.

Questão 178 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Geometria Plana

O instrumento de percussão conhecido como triângulo é composto por uma barra fina de aço, dobrada em um formato que se assemelha a um triângulo, com uma abertura e uma haste, conforme ilustra a Figura 1.

Uma empresa de brindes promocionais contrata uma fundição para a produção de miniaturas de instrumentos desse tipo. A fundição produz, inicialmente, peças com o formato de um triângulo equilátero de altura $h$ , conforme ilustra a Figura 2. Após esse processo, cada peça é aquecida, deformando os cantos, e cortada em um dos vértices, dando origem à miniatura. Assuma que não ocorram perdas de material no processo de produção, de forma que o comprimento da barra utilizada seja igual ao perímetro do triângulo equilátero representado na Figura 2.

Considere 1,7 como valor aproximado para $\sqrt{3}$ .

Nessas condições, o valor que mais se aproxima da medida do comprimento da barra, em centímetro, é

a)	9,07.
b)	13,60.
c)	20,40.
d)	27,18.
e)	36,24.

Resolução

Lembrando que num triângulo equilátero de lado $a$ , sua altura $h$ é dada por:

$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

O comprimento da barra será dado pelo perímetro do triângulo equilátero com altura de $8$ cm. Desta forma, sendo $a$ o lado do triângulo em questão, podemos escrever:

$\frac{a \sqrt{3}}{2} = 8 \Leftrightarrow a = \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{16 \sqrt{3}}{3}$ cm

O perímetro $P$ (comprimento da barra) será de:

$P = 3 a = 3 \cdot \frac{16 \sqrt{3}}{3} = 16 \sqrt{3} \approx 16 \cdot 1, 7 = 27, 2 cm$

Dentre as alternativas, a medida que mais se aproxima (como sugerido pelo enunciado) é $27, 18$ cm.

Questão 179 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Tronco de cone

Uma pessoa comprou uma caneca para tomar sopa, conforme ilustração.

Sabe-se que $1 c m^{3} = 1 m L$ e que o topo da caneca é uma circunferência de diâmetro (D) medindo 10 cm, e a base é um círculo de diâmetro (d) medindo 8 cm. Além disso, sabe-se que a altura (h) dessa caneca mede 12 cm (distância entre o centro das circunferências do topo e da base).

Utilize 3 como aproximação para $π$ .

Qual é a capacidade volumétrica, em mililitro, dessa caneca?

a)	216
b)	408
c)	732
d)	2 196
e)	2 928

Resolução

Primeira resolução:

Perceba que, para calcular o volume da caneca, precisamos calcular o volume do tronco de um cone. Desse modo, temos:

(I) RAZÃO DE SEMELHANÇA:

$k = \frac{D}{d} = \frac{H}{h}$

Sabendo os diâmetros, encontramos que:

$k = \frac{10}{8} \Rightarrow k = \frac{5}{4}$

Daí, sendo $x$ a altura do cone menor:

$\frac{D}{d} = \frac{H}{h} \Rightarrow \frac{10}{8} = \frac{12 + x}{x} \Rightarrow x = 48 c m$

(II) VOLUME DO CONE MENOR: sabendo que $π \approx 3$ e $r = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4 c m$ , temos:

$v_{c o n e} = \frac{1}{3} \cdot π r^{2} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 4^{2} \cdot 48 \Rightarrow v_{m e n o r} = 768 c m^{3}$

(III) RELAÇÃO ENTRE OS VOLUMES:

$\frac{V_{m a i o r}}{v_{m e n o r}} = k^{3} \Rightarrow V_{m a i o r} = v_{m e n o r} \cdot {(\frac{5}{4})}^{3} = 768 \cdot \frac{125}{64} \Rightarrow V_{m a i o r} = 1500 c m^{3}$

Daí, o volume da caneca é dado por:

$V_{c a n e c a} = V_{t r o n c o} = 1500 - 768 = 732 c m^{3}$

Segunda resolução:

Pela fórmula geral de cálculo de volume de tronco, tem-se que:

$V = \frac{h}{3} (Á r e a_{m e n o r} + Á r e a_{M a i o r} + \sqrt{Á r e a_{m e n o r} \cdot Á r e a_{M a i o r}})$

$V = \frac{12}{3} (π \cdot 5^{2} + π \cdot 4^{2} + \sqrt{π \cdot 5^{2} \cdot π \cdot 4^{2}})$

$V = 12 \cdot (25 + 16 + 20) = 732 {cm}^{3}$

Questão 180 Visualizar questão Compartilhe essa resolução

Geometria Plana Área de polígonos Área do Círculo

O dono de uma loja pretende usar cartões imantados para a divulgação de sua loja. A empresa que fornecerá o serviço lhe informa que o custo de fabricação do cartão é de R$ 0,01 por centímetro quadrado e que disponibiliza modelos tendo como faces úteis para impressão:

um triângulo equilátero de lado 12 cm;
um quadrado de lado 8 cm;
um retângulo de lados 11 cm e 8 cm;
um hexágono regular de lado 6 cm;
um círculo de diâmetro 10 cm.

O dono da loja está disposto a pagar, no máximo, R$ 0,80 por cartão. Ele escolherá, dentro desse limite de preço, o modelo que tiver maior área de impressão.

Use 3 como aproximação para $π$ e use 1,7 como aproximação para $\sqrt{3}$ .

Nessas condições, o modelo que deverá ser escolhido tem como face útil para impressão um

a)	triângulo.
b)	quadrado.
c)	retângulo.
d)	hexágono.
e)	círculo.

Resolução

Para decidir qual modelo é adequado segundo as condições do dono da loja vamos calcular a área e o preço de cada uma das propostas.

- Triângulo equilátero de lado 12 cm

Seja $A_{T}$ a área do triângulo equilátero. Temos:

$A_{T} = \frac{12^{2} \sqrt{3}}{4} = 36 \cdot 1, 7 = 61, 2 {cm}^{2}$ $\Rightarrow R $ 0, 612$ /cartão

- Quadrado de lado 8 cm

Seja $A_{Q}$ a área do quadrado. Temos:

$A_{Q} = 8^{2} = 64 {cm}^{2}$ $\Rightarrow R $ 0, 64$ /cartão

- Retângulo de lados 11 cm e 8 cm

Seja $A_{R}$ a área do retângulo. Temos:

$A_{R} = 8 \cdot 11 = 88 {cm}^{2}$ $\Rightarrow R $ 0, 88$ /cartão

- Hexágono regular de lado 6 cm

Seja $A_{H}$ a área do hexágono regular. Temos:

$A_{H} = 6 \cdot \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} = 54 \cdot 1, 7 = 91, 8 {cm}^{2}$ $\Rightarrow R $ 0, 918$ /cartão

- Círculo de diâmetro 10 cm

Seja $A_{C}$ a área do triângulo equilátero. Temos:

$A_{C} = π \cdot 5^{2} = 3 \cdot 25 = 75 {cm}^{2}$ $\Rightarrow R $ 0, 75$ /cartão

Perceba que o modelo que melhor satisfaz as condições (maior área e com valor menor ou igual a R$0,80 por cartão) é o do círculo.