Questão 179 Enem 2021 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 179

Tronco de cone

Uma pessoa comprou uma caneca para tomar sopa, conforme ilustração.

Sabe-se que $1 c m^{3} = 1 m L$ e que o topo da caneca é uma circunferência de diâmetro (D) medindo 10 cm, e a base é um círculo de diâmetro (d) medindo 8 cm. Além disso, sabe-se que a altura (h) dessa caneca mede 12 cm (distância entre o centro das circunferências do topo e da base).

Utilize 3 como aproximação para $π$ .

Qual é a capacidade volumétrica, em mililitro, dessa caneca?

a)	216
b)	408
c)	732
d)	2 196
e)	2 928

Resolução

Primeira resolução:

Perceba que, para calcular o volume da caneca, precisamos calcular o volume do tronco de um cone. Desse modo, temos:

(I) RAZÃO DE SEMELHANÇA:

$k = \frac{D}{d} = \frac{H}{h}$

Sabendo os diâmetros, encontramos que:

$k = \frac{10}{8} \Rightarrow k = \frac{5}{4}$

Daí, sendo $x$ a altura do cone menor:

$\frac{D}{d} = \frac{H}{h} \Rightarrow \frac{10}{8} = \frac{12 + x}{x} \Rightarrow x = 48 c m$

(II) VOLUME DO CONE MENOR: sabendo que $π \approx 3$ e $r = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4 c m$ , temos:

$v_{c o n e} = \frac{1}{3} \cdot π r^{2} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 4^{2} \cdot 48 \Rightarrow v_{m e n o r} = 768 c m^{3}$

(III) RELAÇÃO ENTRE OS VOLUMES:

$\frac{V_{m a i o r}}{v_{m e n o r}} = k^{3} \Rightarrow V_{m a i o r} = v_{m e n o r} \cdot {(\frac{5}{4})}^{3} = 768 \cdot \frac{125}{64} \Rightarrow V_{m a i o r} = 1500 c m^{3}$

Daí, o volume da caneca é dado por:

$V_{c a n e c a} = V_{t r o n c o} = 1500 - 768 = 732 c m^{3}$

Segunda resolução:

Pela fórmula geral de cálculo de volume de tronco, tem-se que:

$V = \frac{h}{3} (Á r e a_{m e n o r} + Á r e a_{M a i o r} + \sqrt{Á r e a_{m e n o r} \cdot Á r e a_{M a i o r}})$

$V = \frac{12}{3} (π \cdot 5^{2} + π \cdot 4^{2} + \sqrt{π \cdot 5^{2} \cdot π \cdot 4^{2}})$

$V = 12 \cdot (25 + 16 + 20) = 732 {cm}^{3}$