Questão 173 Enem 2021 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 173

Sistemas Lineares

Uma pessoa pretende viajar por uma companhia aérea que despacha gratuitamente uma mala com até 10 kg.

Em duas viagens que realizou, essa pessoa utilizou a mesma mala e conseguiu 10 kg com as seguintes combinações de itens:

Viagem	Camisetas	Calças	Sapatos
I	12	4	3
II	18	3	2

Para ter certeza de que sua bagagem terá massa de 10 kg, ela decide levar essa mala com duas calças, um sapato e o máximo de camisetas, admitindo que itens do mesmo tipo têm a mesma massa.

Qual a quantidade máxima de camisetas que essa pessoa poderá levar?

a)	22
b)	24
c)	26
d)	33
e)	39

Resolução

Considere $x$ , $y$ e $z$ as massas, em kg, de uma camiseta, uma calça e um sapato, respectivamente. Assim:

(1) VIAGEM I: $12 x + 4 y + 3 z = 10$

(2) VIAGEM II: $18 x + 3 y + 2 z = 10$

(3) PRÓXIMA VIAGEM: essa pessoa decide levar k camisetas, 2 calças e 1 sapato:

$k x + 2 y + 1 z = 10$

Veja que temos um sistema linear:

${\begin{matrix} 12 x + 4 y + 3 z = 10 \\ 18 x + 3 y + 2 z = 10 \\ k x + 2 y + z = 10 \end{matrix} \begin{matrix} \times 2 \end{matrix} ~ {\begin{matrix} 12 x + 4 y + 3 z = 10 \\ 36 x + 6 y + 4 z = 20 \\ k x + 2 y + z = 10 \end{matrix}$

Subtraindo a segunda equação pela primeira:

${\begin{matrix} 12 x + 4 y + 3 z = 10 \\ 24 x + 2 y + z = 10 \\ k x + 2 y + z = 10 \end{matrix}$

Observe que, a menos do fator que multiplica $x$ , a segunda e a terceira equações são idênticas, portanto, o máximo é de 24 camisetas.