Questão 163 Enem 2021 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 163

Equações e Inequações (Função Quadrática)

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo $∆$ e. estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por $x ∆ y = x^{2} + x y - y^{2}$ e $x * y = x y + x$ . O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação $(a ∆ b) * (b ∆ a) = 0$ . Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem "ATENÇÃO!''. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será:

a)	$\sqrt{5}$
b)	$\sqrt{3}$
c)	$\sqrt{1}$
d)	$\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$
e)	$\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Resolução

Para facilitar a resolução, podemos reescrever a operação estrela $*$ na forma

$x * y = x y + x = x \cdot (y + 1)$

Assim, temos a equação

$\begin{array}{rcl} (a ∆ b) * (b ∆ a) & = & 0 \\ (a^{2} + a b - b^{2}) * (b^{2} + b a - a^{2}) & = & 0 \\ (a^{2} + a b - b^{2}) \cdot (b^{2} + b a - a^{2} + 1) & = & 0 \end{array}$

Substituindo $b = 1$ , obtemos a seguinte equação

$(a^{2} + a \cdot 1 - 1^{2}) \cdot (1^{2} + 1 \cdot a - a^{2} + 1) = 0 (a^{2} + a - 1) \cdot (- a^{2} + a + 2) = 0$

Como o produto de dois números reais é nulo se, e somente se, ao menos um dos números reais for nulo, então, para calcular as raízes da equação acima basta calcular as raízes das equações

$a^{2} + a - 1 = 0$

$- a^{2} + a + 2 = 0$

Aplicando o método de Bháskara, a primeira equação fornece as raízes

$a = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 1} \Rightarrow a = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} ou a = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Para a segunda equação, encontramos as raízes

$a = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2} \Rightarrow a = 2 ou a = - 1$

Logo, as duas maiores raízes da equação original são $a = 2$ e $a = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ , de modo que a soma delas é

$2 + \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$