Questão 143 Enem 2021 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Dado que a probabilidade de um jogador pontuar é a probabilidade de acertar pelo menos um dardo do alvo, podemos calcular mais facilmente a probabilidade complementar, que representa a probabilidade de que o jogador não pontue.

Para um jogador não pontuar, todos lançamentos devem errar o alvo.

Como um lançamento acerta o alvo com $\frac{1}{2}$ de probabilidade, a probabilidade de erro é de $\frac{1}{2}$.

Para $n$ lançamentos, a probabilidade de um jogador não pontuar, isto é, errar todos os lançamentos, é de:

$P(\mathrm{não} \mathrm{pontuar}) = {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

Deseja-se que $P\left(\mathrm{pontuar}\right) \ge \frac{9}{10}$. Isto é:

$$\begin{gathered} P(\mathrm{pontuar}) = 1 - P(\mathrm{não} \mathrm{pontuar}) \ge \frac{9}{10} \iff \\ \iff - P(\mathrm{não} \mathrm{pontuar}) \ge \frac{9}{10} - 1= -\frac{1}{10} \\ \therefore P(\mathrm{não} \mathrm{pontuar}) \le \frac{1}{10} \end{gathered}$$

Resolvendo para o número de lançamentos $n$ (que deve ser um número natural):

${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\le \frac{1}{10} \iff \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{10} \iff 2^n \ge 10$

como, $2^3<10<2^4$, então, o menor número natural que satisfaz a desigualdade é $n = 4$.