Unesp 2022 - 1ª fase - dia 2

Vejamos as alternativas:

a) Incorreta. Apesar de se propagarem no vácuo com mesma velocidade, as ondas eletromagnéticas não se propagam apenas no vácuo, mas também em alguns meios materiais. 

b) Incorreta. Os raios gama são raios mais energéticos do que a luz e, por isso, possuem maior frequência do que a luz. Assim, a partir da equação fundamental da ondulatória (v = λ·f) sabemos que o comprimento de onda da radiação gama é menor do que o comprimento de onda da radiação luminosa. Além disso, de maneira geral, quanto maior a frequência mais nociva é a onda eletromagnética.

c) Incorreta. Os raios gama apresentam frequência maior do que a luz e se propagam, no vácuo, com mesma velocidade que as demais radiações eletromagnéticas, incluindo a luz. 

d) Incorreta. Como a luz visível é refletida pela lua e os raios gama são produzidos na lua, podemos considerar a lua como fonte luminosa (secundária para a luz visível e primária para os raios gama) e como ambas se propagam com a mesma velocidade no vácuo (velocidade da luz), ambos chegarão simultaneamente na Terra. 

e) Correta. As radiações eletromagnéticas se propagam no vácuo com mesma velocidade, mesmo apresentando diferentes frequências e comprimentos de onda. 

Por definição, a energia consumida ao longo do período considerado é dada por

$E=P·∆t\Rightarrow$

$42000=7000·30·∆t_{diário}\Rightarrow$

$∆t_{diário}=\frac{42000}{7000·30}\Rightarrow$

$∆t_{diário}=\frac{42}{7·30}\Rightarrow$

$∆t_{diário}=\frac{6}{30}\Rightarrow$

$\boxed{∆t_{diário}=0,2 \mathrm{h}=12 \min }$

Sendo $∆t_{diário}$ o tempo médio que o chuveiro permanece em funcionamento diariamente.

Observe que o triângulo destacado é retângulo com hipotenusa $\overline{PQ}$ daí, pelo Teorema de Pitágoras, temos que:

$PQ=\sqrt{3^2+4^2}=5 \mathrm{cm}$

No entanto, note que o mapa é dado em escala onde 200 metros (no espaço real) são representados por uma distância de 1,6 centímetros.

Sendo a distância real e a distância no mapa um par de grandezas diretamente proporcionais, a distância real $x$, entre o Museu Afro Brasil (representado pelo ponto $P$) e o Museu de Arte Moderna (representado pelo ponto $Q$) pode ser obtido através da seguinte regra de três:

$\begin{array}{ccc}200 \mathrm{m}& \sout{ }& 1,6 \mathrm{cm}\\ x& \sout{ }& 5 \mathrm{cm}\end{array}\Rightarrow \frac{200}{1,6}=\frac{x}{5}\iff \boxed{x=625 \mathrm{m}}$

Analisemos as alternativas.

a) Falsa. O número de acertos de palavras foi $84$, enquanto o número de acertos de figuras foi $90$. Como o total de acertos foi $250$, a porcentagem de acertos que correspondem aos acertos de palavras e de figuras foi

$\frac{84+90}{250}·100\% = 69,6\%$

b) Falsa. Ordenando os totais de acertos de cada criança segundo a ordem crescente, temos o seguinte sequência numérica:

$20, 23, 23, 24, \underset{Termos centrais}{\underbrace{24, 26}}, 27, 27, 28, 28$

Como a quantidade de elementos nessa sequência é par, a mediana corresponde à média aritmética dos dois termos centrais:

$m=\frac{24+26}{2}=25$

c) Falsa. Basta observar que a criança número 2 acertou mais figuras ($10$) do que palavras ($9$), mas a quantidade de acertos de números ($9$) foi igual à quantidade de acertos de palavras. Portanto, há contra-exemplo para a afirmação dessa alternativa.

d) Falsa. A alternativa fala em mediana do "total de acertos de figuras" e do "total de acertos de números", o que poderia induzir o candidato a usar as informações da última linha da tabela, sendo que a mediana de um conjunto com somente 1 elemento é o próprio elemento. Na verdade, a alternativa deveria falar em mediana "das quantidades de acertos de figuras" e "das quantidades de acertos de números". Além disso, só conseguiríamos julgar tal alternativa como verdadeira se acrescentássemos a palavra "respectivamente" depois da palavra "coincidem". Sendo assim, prezando pelo rigor conceitual que deve pautar um vestibular da envergadura da Unesp, sugerimos a anulação da questão.

Assumindo que a alternativa pretendia afirmar mediana "das quantidades de acertos de figuras" e "das quantidades de acertos de números", respectivamente, segue a análise dessa alternativa.

A mediana das quantidades de acertos de figuras é dada por: 

$7, 8, 8, 9, \underset{Termos centrais}{\underbrace{9, 9}}, 10, 10, 10, 10$

Como os termos centrais são iguais, a mediana é igual a eles, ou seja, $m_{figuras}=9$, que também corresponde ao número de acertos de figuras da criança 5.

Já, a mediana das quantidades de acertos de números é dada por:

$5, 6, 7, 7, \underset{Termos centrais}{\underbrace{8, 8}}, 8, 9, 9, 9$

Assim, a mediana de acertos de números é $m_{números}=8$, que também corresponde ao número de acertos de números da criança 5.

e) Falsa. O total de acertos do grupo foi $250$. Como cada criança recebeu uma lista com $10$ palavras, outra lista com $10$ figuras e uma terceira com $10$ números, o máximo de acertos que cada criança poderia obter seria $10+10+10=30$. Uma vez que eram dez crianças, o número máximo de acertos possíveis do grupo seria $10·30=300$. Portanto, o percentual de acertos do grupo foi

$\frac{250}{300}·100\%=83,\overline{3}\%$

De acordo com o gráfico apresentado para a função $y=15649·e^{-0,687x}$, cada variação de uma unidade no eixo das abscissas (eixo $x$) corresponde a uma variação de tempo de $5$ anos. Sendo assim, uma vez que o valor correspondente ao ano de $2020$ é a imagem de $x=7$, o valor correspondente ao ano de $2025$ é obtido para $x=8$.

Para $x=8$, obtemos o valor

$y=15649·e^{-0,687·8}=15649·e^{-5,496}$

Observe então que o enunciado forneceu os valores

$e^{5,053}=156,49$  e  $e^{0,443}=1,56$

Podemos reescrever o valor encontrado para $y$ em função dos dados fornecidos:

$y=15649·e^{-5,496}=100·156,49·e^{-5,496}=100·e^{5,053}·e^{-5,496}=$

$=100·e^{5,053-5,496}=100·e^{-0,443}=100·\frac{1}{e^{0,443}}=\frac{100}{1,56}\approx \boxed{\mathrm{US}\$ 64,10}$

Portanto, a alternativa que apresenta o valor mais próximo é a alternativa (B): $\text{US\$} 64$.

O fato da soma dos dois números ser maior ou igual a 10 pode ser expresso através da seguinte inequação:

$\left(\text{I}\right) x+y\ge 10$

cuja representação no plano cartesiano é

(note que a reta destacada é dada pela equação $y=10-x$ e a região em amarelo contém todos os pontos do plano cartesiano tais que a coordenada $y$ é maior que $10-x$).

Já a informação "A diferença entre eles, em qualquer ordem, é menor do que 4" pode ser descrita pela inequação

$\left(\text{II}\right) \left|x-y\right|<4$,

onde o módulo se faz necessário para contemplar as duas diferenças possíveis: $x-y$ e $y-x$.

Lembrando que $\left|a\right|<n \Rightarrow -n<a<n$ para quaisquer $a\in \mathrm{ℝ}$ e $n\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$, temos que a inequação $\left(\text{II}\right)$ pode ser reescrita como

$-4<x-y<4$

O que nos fornece as inequações $y<x+4$ e $y>x-4$ que são representadas graficamente, por:

(onde as retas pontilhadas se referem às equações $y=x+4$ e $y=x-4$ e a região entre elas satisfaz as duas inequações simultaneamente).

Como os valores de $x$ e $y$ precisam satisfazer as inequações $\left(\text{I}\right)$ e $\left(\text{II}\right)$ ao mesmo tempo, procuramos pela interseção dos dois gráficos, que é dada na alternativa a, com a ressalva de que a alternativa não indicou que os vértices da figura formada não pertencem ao conjunto solução, uma vez que não satisfazem a inequação $\left(\text{II}\right)$, conforme ilustrado na geometricamente figura abaixo):

A função relaciona o período de oscilação $y$ , em segundos, com o comprimento do cabo $x$, em metros, de acordo com a lei de formação $y=k\sqrt{x}$ e o enunciado pede o período para o caso particular em que $x=28m$.

Observe que para isto, precisamos, primeiramente, determinar o valor de $k$ .

Nota-se, pelo gráfico da função, que ela contém o ponto $\left(4,4\right)$ logo, devemos ter que

$4=k\sqrt{4}\Rightarrow \boxed{k=2}$

cuja unidade de medida é dada em $\frac{\mathrm{s}}{\sqrt{\mathrm{m}}}$ ou, simplesmente, $\mathrm{s}·{\mathrm{m}}^{-\frac{1}{2}}$.

Substituindo este valor na lei de formação, obtemos:

$y=2\sqrt{28}\mathrm{s}$

Ora, $28=2^2·7$, daí que $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ e

$y=2·2\sqrt{7}\mathrm{s}=\boxed{4\sqrt{7}\mathrm{s}}$

Seja $T$ o total de pessoas que participaram do estudo em questão.

A probabilidade de uma pessoa ter a sua pressão arterial aferida como elevada, dado que ela está com excesso de peso, é dada por:

$p\left(\mathrm{pressão} \mathrm{elevada}|\mathrm{peso} \mathrm{em} \mathrm{excesso}\right)=\frac{p\left(\mathrm{pressão} \mathrm{elevada} \mathrm{e} \mathrm{peso} \mathrm{em} \mathrm{excesso}\right)}{p\left(\mathrm{peso} \mathrm{em} \mathrm{excesso}\right)}=$$=\frac{{\displaystyle \frac{10}{100}}·T}{{\displaystyle \frac{15}{100}}·T+{\displaystyle \frac{10}{100}}·T}=\frac{{\displaystyle \frac{10}{100}}·T}{{\displaystyle \frac{25}{100}}·T}=\frac{10}{25}=\boxed{40\%}$

A questão apresenta um problema em seu enunciado, ao não informar a unidade de medida quando descreve o comprimento do segmento $\overline{\mathrm{CD}}$, dizendo apenas que $\mathrm{CD}=4$. Sem essa informação da unidade de medida, não há como calcular o volume da pirâmide em questão, e consequentemente, também não há como calcular o custo da espuma que será empregada no seu preenchimento. Em função da ausência dessa informação, e prezando sempre pelo rigor nos enunciados das questões, sugerimos a anulação da questão.

Supondo que o enunciado pretendia informar que $\mathrm{CD}=4\mathbf{ }\mathbf{metros}$, já que todas as demais medidas estão na unidade metros, apresentamos a seguir o que imaginamos que a banca esperava como resolução da questão.

Sendo $\overline{\mathrm{GH}}$ um dos lados do quadrado $\mathrm{AHGF}$, que tem área ${\mathrm{A}}_{\mathrm{AHGF}}=3 {\mathrm{m}}^2$, segue que:

$\mathrm{GH}=\sqrt{{\mathrm{A}}_{\mathrm{AHGF}}}=\sqrt{3} \mathrm{m}$

Assim, no triângulo retângulo $\mathrm{GHV}$, temos que:

$\mathrm{tg}60°=\frac{\mathrm{VH}}{\mathrm{GH}}\iff \sqrt{3}=\frac{\mathrm{VH}}{\sqrt{3}}\iff \mathrm{VH}=3 \mathrm{m}$

Por outro lado, com a ressalva de que estamos supondo que $\mathrm{CD}=4\mathbf{ }\mathbf{metros}$, a área do retângulo $\mathrm{BCDE}$ pode ser calculada por:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{BCDE}}=\mathrm{BC}·\mathrm{CD}=\left(3 \mathrm{m}\right)·\left(4 \mathrm{m}\right)=12 {\mathrm{m}}^2$

Assim, a base $\mathrm{ABCDEFGH}$ da pirâmide tem área dada por:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{ABCDEFGH}}={\mathrm{A}}_{\mathrm{BCDE}}-{\mathrm{A}}_{\mathrm{AHGF}}=12-3=9 {\mathrm{m}}^2$

Logo, a pirâmide $\mathrm{VABCDEFGH}$ em questão tem volume dado por:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}·{\mathrm{A}}_{\mathrm{ABCDEFGH}}·\mathrm{VH}=\frac{1}{3}·9·3 \left({\mathrm{m}}^3\right)=9 {\mathrm{m}}^3=9.000 \mathrm{litros}$

Sendo de R$ 5,00 o custo da quantidade de espuma de poliuretano necessária para ocupar cada 1 litro da pirâmide, o custo total com a espuma é:

$9.000 \mathrm{litros}·\frac{\mathrm{R}\$ 5,00}{\mathrm{litro}}=\mathrm{R}\$ 45.000,00$

Para escrever um número $n$ do sistema decimal em outra base numérica $b$, podemos proceder com o seguinte algorítmo:

• Etapa 1: efetuar a divisão de $n$ por $b$, obtendo resto $r_0$ e quociente $q_0$;
• Etapa 2: se $q_0=0$, temos ${\left(n\right)}_b=r_0=n$. Caso contrário, efetuar a divisão de $q_0$ por $b$, obtendo resto $r_1$ e quociente $q_1$;
• Etapa 3: se $q_1=0$, temos ${\left(n\right)}_b=r_1{r}_0$. Caso contrário, efetuar a divisão de $q_1$ por $b$, obtendo resto $r_2$ e quociente $q_2$;
• Etapa 4: se $q_2=0$, temos ${\left(n\right)}_b=r_2{r}_1{r}_0$. Caso contrário, efetuar a divisão de $q_2$ por $b$, obtendo resto $r_3$ e quociente $q_3$;

            $⋮$

O processo deve ser repetido até obtermos pela primeira vez $q_{\left(k-1\right)}=0$. Nesse caso, o número $n$ escrito na base $b$ é

${\left(n\right)}_b=r_{\left(k-1\right)}{r}_{\left(k-2\right)} ... r_2{r}_1{r}_0$

Observação: o algorítmo sempre admite uma etapa de parada, uma vez que o quociente de uma determinada etapa é estritamente menor que o respectivo dividendo.

Aplicando o algoritmo para se obter a representação na base binária do número $2021$ do sistema decimal, obtemos:

• $2021=2·1010+\mathbf{1}$
• $1010=2·505+\mathbf{0}$
• $505=2·252+\mathbf{1}$
• $252=2·126+\mathbf{0}$
• $126=2·63+\mathbf{0}$
• $63=2·31+\mathbf{1}$
• $31=2·15+\mathbf{1}$
• $15=2·7+\mathbf{1}$
• $7=2·3+\mathbf{1}$
• $3=2·1+\mathbf{1}$
• $1=2·0+\mathbf{1}$

Uma vez obtido o quociente nulo, concluímos que

${\left(2021\right)}_2=11111100101$

Tal representação é um número que possui oito algarismos iguais a $1$ e três algarismos iguais a $0$.

Portanto, a diferença entre a quantidades de algarismos iguais a $1$ e a quantidade de algarismos iguais a $0$ é

$8-3=\boxed{5}$