Questão 90 Unesp 2022 - 1ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 90

Bases Numéricas

Os computadores utilizam a representação binária no lugar dos números naturais do nosso sistema de numeração. Na escrita numérica binária, são utilizados apenas dois algarismos, o 0 e o 1, para escrever de forma única qualquer número natural do nosso sistema decimal. A conversão dos números naturais 0, 1, 2, 3, 9, 14 e 102 do sistema numérico decimal para seus correspondentes no sistema numérico binário, que são 0, 1, 10, 11, 1001, 1110 e 1100110, respectivamente, está representada a seguir.

Sistema Decimal

$0 = 0 \cdot 10^{0}$

$1 = 1 \cdot 10^{0}$

$2 = 2 \cdot 10^{0}$

$3 = 3 \cdot 10^{0}$

$9 = 9 \cdot 10^{0}$

$14 = 1 \cdot 10^{1} + 4 \cdot 10^{0}$

$102 = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 2 \cdot 10^{0}$

Sistema Binário

$0 = 0 \cdot 2^{0}$

$1 = 1 \cdot 2^{0}$

$10 = 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0}$

$11 = 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

$1001 = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

$1110 = 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0}$

$1100110 = 1 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0}$

Convertendo o ano em que estamos, 2021, do sistema decimal para o binário, encontraremos um número cujo total de algarismos iguais a 1 supera o de algarismos iguais a 0 em

a)	quatro.
b)	três.
c)	cinco.
d)	dois.
e)	seis.

Resolução

Para escrever um número $n$ do sistema decimal em outra base numérica $b$ , podemos proceder com o seguinte algorítmo:

Etapa 1: efetuar a divisão de $n$ por $b$ , obtendo resto $r_{0}$ e quociente $q_{0}$ ;
Etapa 2: se $q_{0} = 0$ , temos ${(n)}_{b} = r_{0} = n$ . Caso contrário, efetuar a divisão de $q_{0}$ por $b$ , obtendo resto $r_{1}$ e quociente $q_{1}$ ;
Etapa 3: se $q_{1} = 0$ , temos ${(n)}_{b} = r_{1} r_{0}$ . Caso contrário, efetuar a divisão de $q_{1}$ por $b$ , obtendo resto $r_{2}$ e quociente $q_{2}$ ;
Etapa 4: se $q_{2} = 0$ , temos ${(n)}_{b} = r_{2} r_{1} r_{0}$ . Caso contrário, efetuar a divisão de $q_{2}$ por $b$ , obtendo resto $r_{3}$ e quociente $q_{3}$ ;

$⋮$

O processo deve ser repetido até obtermos pela primeira vez $q_{(k - 1)} = 0$ . Nesse caso, o número $n$ escrito na base $b$ é

${(n)}_{b} = r_{(k - 1)} r_{(k - 2)} . . . r_{2} r_{1} r_{0}$

Observação: o algorítmo sempre admite uma etapa de parada, uma vez que o quociente de uma determinada etapa é estritamente menor que o respectivo dividendo.

Aplicando o algoritmo para se obter a representação na base binária do número $2021$ do sistema decimal, obtemos:

$2021 = 2 \cdot 1010 + 1$
$1010 = 2 \cdot 505 + 0$
$505 = 2 \cdot 252 + 1$
$252 = 2 \cdot 126 + 0$
$126 = 2 \cdot 63 + 0$
$63 = 2 \cdot 31 + 1$
$31 = 2 \cdot 15 + 1$
$15 = 2 \cdot 7 + 1$
$7 = 2 \cdot 3 + 1$
$3 = 2 \cdot 1 + 1$
$1 = 2 \cdot 0 + 1$

Uma vez obtido o quociente nulo, concluímos que

${(2021)}_{2} = 11111100101$

Tal representação é um número que possui oito algarismos iguais a $1$ e três algarismos iguais a $0$ .

Portanto, a diferença entre a quantidades de algarismos iguais a $1$ e a quantidade de algarismos iguais a $0$ é

$8 - 3 = 5$